2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）6

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）6 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题6： （2023年鲁J70联考）已知函数.（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的正负可确定的单调性，由此可确定最值点，根据最值可得值域； （2）将问题转化为讨论的变号零点，令，分别在和的情况下，结合的单调性和零点存在定理的知识可说明的正负，从而得到单调性，由极值点定义可确定满足题意的的范围. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 又，，， 在上的值域为. 【小问2详解】 ，极值点即为的变号零点， 设，； ①若，与在上单调递减， 在上单调递减； ，， 存在唯一的，使得， 又定义域为，， ，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 存在唯一的极大值点，符合题意； ②若，定义域为， 当时，，，，单调递减， （i）当时，，，即， 在上无极值点； （ii）当时，，，即， 在上无极值点； （iii）当时，，， 存在唯一的，使得，即， 当时，，即；当时，，即； 是的极大值点，此时在上有一个极值点； 当时，；令，解得：， 则当时，；当时，； 上单调递增，在上单调递减； 令，解得：， （i）当时，若，，， 当时，， ，，使得， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递增，在上单调递减， 此时在上有两个极值点； 若，则，，则， 此时在上无极值点； 不符合题意； （ii）当时，，，， 存在唯一的，使得， 则当时，，则；当时，，则； 在上单调递增，在上单调递减， 为唯一的极大值点，此时在有一个极值点， 则符合题意； （iii）当时，，； 当时，； 存在唯一的，使得， 当时，，则；当时，，则； 在上单调递增，在上单调递减， 为的极大值点，此时在有一个极值点，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数研究函数的极值点的问题，解题基本思路是将问题转化为讨论导函数的变号零点个数的问题，可以结合函数中的零点存在定理的知识来说明变号零点的个数，从而得到函数的单调性和极值点个数. ] （1）当时，求在区间上的值域； （2）若有唯一的极值点，求的取值范围. （2023年苏J01南京天印一模）已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可； （2）求出，，，得到，得到，再根据得到结论成立即可确定的取值范围． 【详解】解：（1）证明：时，，， 设，则，令，解得：， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 故的最小值是，即对任意恒成立， 故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）先证对任意，，， 令，，令，解得：， 故在区间递增，在递减， 故，故， 令，，， 令，解得：， 故在区间递减，在区间递增， 故，故，递增， 故，故，，， 对于任意，恒成立， ，故， 当时， ， 即对于任意的，恒成立， 综上：的取值范围是. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． ] （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. （2023年苏J02南师大附中一模）已知函数，其中． （1）设函数，证明： ①有且仅有一个极小值点；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【解析】 【分析】（1）①对函数求导，结合单调性、零点存在性定理证明仅有一个零点，并判断在零点两侧的符号即可得证； ②由①可得，再对不等式进行等价变形，借助分析法即可得证. （2）设出切点坐标，由导数的几何意义推理可得切点坐标满足的关系，再求解作答. 【详解】（1）①依题意，，求导得：， 令，则，函数即在R上单调递增， 又，则存在，使得， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以为的唯一极小值点． ②由①知，，即，， 则， 因此，要证，只需证，即证， 因为，从而只需证，即，而， 所以. （2）依题意，