2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）5

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）5 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题5： （2023年鲁J42日照联考）已知函数． （1）若恒成立，求实数的值：([endnoteRef:2]) [2: 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，由可知函数单调递增，通过反例可说明不合题意；当时，可得单调性，知；构造函数，利用导数可求得，由此可得，知； （2）将已知不等式化为，令，利用导数可求得单调性，易知时成立，当时，采用分析法可知只需证得即可，构造函数，，利用导数可说明，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意得：定义域为，； ①当时，，在上单调递增， 若，则，时，，不合题意； 若，则，不合题意； ②当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增，； 若恒成立，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 又，； 则当时，符合题意； 综上所述：. 小问2详解】 由得：， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 由得：； ，， 当时，由得：，； 当时，要证，只需证， ，，则只需证， 又，只需证； 令，， 则， 上单调递减，，， 即，即得证，； 综上所述：成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够采用同构法将所给不等式化为的形式，结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明，从而通过构造函数来进行证明. ] （2）若，，，证明：． （2023年鲁J43日照三模）已知函数. （1）若，求函数的极值；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）依题意可得，则，先证明，构造函数利用导数即可证明，则，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 当时，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值为，无极大值. 【小问2详解】 证明：当时，依题意可得，显然， 先证明，令，则， 所以当时，单调递增，所以， 当时，单调递减，所以， 所以， 又依题意， 令，则， 所以当时，所以在上单调递减， 所以，也即， 当时利用在上单调递减可知， 当时也有， 所以，则，综上可得. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．] （2）若，，且满足，求证：. （2023年鲁来J44威海二模）已知函数． （1）讨论的单调性；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，结合正弦函数的性质即可得解； （2）将化简得，令，则问题转化为方程在上有且只有一个解，利用导数说明函数的单调性，即可证明； （3）设，由题意可知，则，令，则， 即在上单调递增，则在上恒成立，多次构造函数，利用导函数说明函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 因为定义域为， 且， 所以当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 证明：由化简得， 令， 要证方程在上有且只有一个解， 即证方程在上有且只有一个解， 又，所以当时，当时， 当时， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 所以当时， 所以在上不存在满足， 又，，所以有且只有一个，满足， 所以在上有且只有一个解. 【小问3详解】 设，则， 由题意可知，可得， 即， 令，则， 所以在上单调递增， 所以在上恒成立，又， 所以在上恒成立， 令，则，，解得， ，令，则， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 当时，所以，所以在上单调递增， 所以，满足题意； 当时，则，而， 所以存在唯一的，满足， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，满足题意， 综上可得. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想