2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）3

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）3 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题3： （2023年粤J74梅州一模）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）增区间为和，减区间为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）利用导数分析函数的单调性，对实数的取值进行分类讨论，结合零点存在定理可得出结论. 【小问1详解】 解：当时，，该函数的定义域为， ， 由可得，由可得或. 故当时，函数的增区间为和，减区间为. 【小问2详解】 解：函数的定义域为， ， 由，得，， 由可得，由可得或. 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为， 极小值为， 当时，， 令，其中， 则，即函数在上单调递增， 故当时，， 此时，，所以在上不存在零点； ①当时，，此时函数无零点； ②当时，，此时函数只有一个零点； ③当时，，， 则在与上各有一个零点. 综上所述，（i）当时，在上不存在零点； （ii）当时，在上存在一个零点； （iii）当时，在上存在两个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. ] （2）若，讨论函数的零点个数. （2023年粤J75梅州二模）已知函数，其中． （1）当时，讨论的单调性；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1）递减区间为，递增区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再借助导数求出单调区间作答. （2）构造函数并求出导数，再按分段讨论函数单调性，由此求出取得最小值1作答. 【小问1详解】 当时，，函数的定义域为， 求导得， 显然函数在上单调递增，且， 因此当时,单调递减，当时,单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 ，令，求导得， 当时,，则在上单调递增，，满足题意， 当时，设，则，因此函数，即在上单调递增， 而， (i)当时,在上单调递增， 于是，满足题意， (ii)当，即时，对，则在上单调递减， 此时，不合题意， （iii）当时，因为在上单调递增， 且，于是，使，且当时,单调递减， 此时，不合题意， 所以实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答. ] （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围． （2023年粤J90某地二模）已知，存在，使得． （1）求实数a的取值范围；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）； （2），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知可得函数与函数的图象有三个公共点，利用导数研究函数的单调性，由此可得a的取值范围； （2）由（1）可得，由，可得，考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，构造函数，利用导数研究其单调性， 证明，结合证明，由此证明结论. 【小问1详解】 由题意得有三个零点， 所以方程有三个根，即方程有三个根. 所以函数与函数的图象有三个公共点， 设，则， 令，解得；令，解得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 因为当时，，当时，， 且，， 所以，即实数a的取值范围为． 小问2详解】 因为，由（1）得， 由，得， 设，则， 求导得， 令，解得，令，解得， 所以h（x）在上单调递增，在上单调递减， 设，， 则，， 求导得恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即， 因为，所以， 又因为，，h（x）在上单调递减， 所以，即， 设且，则， 因为在上单调递减，所以， 因为，所以， 所以， 因为在上单调递减，所以， 所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题． 注意分类讨论与数