2023年全国一卷新高考数学题型分类S2-5——导数（大题）2

2023年全国一卷新高考题型分类S2-5 ——导数（大题）2 资料编制说明： 1、 试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。 多选3、多选4也难。 导数——大题2： （2023年粤J30广州冲刺）设函数，其中. （1）讨论的单调性；（[endnoteRef:2]） [2: 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，对分类讨论，求出的解，得出单调区间； （2）分和两种情况讨论，时易得零点为0，直接比较可得，时，再由求解即可. 【小问1详解】 由 ①时，由，令，解得， 所以时，时，， 则在单调递增，在单调递减； ②时，由， （i）时，因为，则在单调递增， （ii）时，，解得或， 所以时，时，， 则在，上单调递增，在单调递减； （iii）时，由， 所以时，时，， 则在，上单调递增，在单调递减； 综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 根据题意结合（1）可知时，存在两个极值点， 由为的零点，则，则，故， 若，由（1）可知，则； 若，则，故， 化简得，即， 故 当且仅当，即时等号成立， 即， 故，当且仅当时取等号， 综上，恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题解决过程，关键在于分类讨论思想的应用，求函数单调区间时， 需分类讨论才能解不等式，研究函数零点与极值点关系时，也需要分和两种情况讨论. ] （2）若存在两个极值点，设极大值点为为的零点，求证：. （2023年粤J41深圳适应性）已知函数． （1）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；（[endnoteRef:3]） [3: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. （2）首先根据有个不同的极值点求得的一个范围，然后化简不等式，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，不等式恒成立， 即在上恒成立， 记，则， 得到在区间上单调递减， 在上单调递增， 则，即在区间上恒成立， 分离变量知：在上恒成立，则， ， 由前面可知，当时，恒成立，即， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以，所以． 【小问2详解】 ， 设曲线图象上任意一点， 所以曲线在点处的切线方程为， 将代入得，故切点为， 过的切线方程为， 所以直线和曲线相切，并且切点坐标为， 所以当且仅当时，方程有两个不相等的实根，，并且， 从而当时，有三个极值点，，，并且，，， 取对数知：，，即，， 则 ． 构造， 在时恒成立， 则在区间上单调递增，且， 从而的解为， 综上所述． 【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.当一次求导无法求得单调区间时，可考虑二次求导等方法来进行求解. ] （2）若函数有三个不同的极值点，，，且，求实数a的取值范围． （2023年粤J43深圳德琳）已知函数. （1）当时，求的单调区间；（[endnoteRef:4]） [4: 【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的导数，结合函数的定义域，判断导函数的符号，得到函数的单调区间． （2）①当时，求解函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后证明函数恰有三个零点； ②记①中的三个零点分别为，，，判断零点所在区间，利用分析法结合函数的导数转化证明即可． 【小问1详解】 当时，定义域为， 所以， 所以在定义域上单调递减，其单调递减区间为，无单调递增区间． 【小问2详解】 ①由定义域为， 所以， 令，因为，， 设方程的两根分别为，，且，则，， 所以有两个零点，，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 又，故，则， 又因为，，且， 故有，由零点存在性定理可知， 在恰有一个零点，在也恰有一个零点， 易知是的零点，所以恰有三个零点； ②由①知，，则， 因为，所以， 所以要证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证． 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，故式成立， 所以． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的