6.3.2二项式系数的性质 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 二项式系数的性质 高二数学组 2022-12-23 博学 笃志 雅行 厚德 教学目标: 1、了解杨辉三角以及与二项式定理之间的关系 2、理解和掌握二项式系数的性质,利用赋值法解决一些简单的问题 教学重难点: 重点:二项式系数的性质及应用 难点:利用二项式系数的性质解决问题 博学 笃志 雅行 厚德 1.二项式定理 2.二项展开式的通项 3.二项式系数: 复习引入 博学 笃志 雅行 厚德 n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 二项式系数: 探究新知 问题1:计算 (a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表: ? 探究 博学 笃志 雅行 厚德 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式,并说说你发现了什么规律? 1 7 21 35 35 21 7 1 … … … … … … (a + b)n 探究新知 每一行的系数具有对称性 博学 笃志 雅行 厚德 对于 的展开式的二项式系数依次是: 从函数角度看, 可看成是以 r为自变量的函数 , 其定义域是: 例如:当 n=6 时, 其图象是7个孤立点 f (r) r 6 3 O 5 15 20 1 10 1 2 4 5 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 这一性质可直接由公式 得到. f (r) r n O 5 15 20 1 10 探究新知 图象的对称轴: 博学 笃志 雅行 厚德 由 可知, 当 时,二项式系数是逐渐增大的 所以 相对于 的增减情况由 决定 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的, 且中间项取得最大值 因为 2.增减性与最值 探究新知 博学 笃志 雅行 厚德 2.增减性与最值 ∵二项展开式共有n+1项, 探究新知 当n为奇数时, 中间两项的二项式系数 相等,且同时取得最大值. ∴当n为偶数时, 正中间一项的二项式系数 最大; f (r) r n O 5 15 20 1 10 博学 笃志 雅行 厚德 在二项式定理中,令 ,则: 这就是说, 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成: 这是组合总数公式. 探究新知 3.各二项式系数的和 (赋值法) 博学 笃志 雅行 厚德 一般地, 的展开式的二项式系数有如下性质: (1) (2) (3)当 时, 当 时, (4) 归纳总结 博学 笃志 雅行 厚德 例1 证明: 在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 即: 赋值法 证: 在展开式 中, =2n-1 即: 结合二项式系数和为2n 典例分析 博学 笃志 雅行 厚德 1.已知 , 那么 = ; 3.在(a+b)20展开式中, 与第五项的系数相同的项是( ) A. 第15项 B. 第16项 C. 第17项 D. 第18项 C 2.若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数 最大, 则 n = ; 变式练习 4.在(a+b)10展开式中, 系数最大的项是( ) A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项 5.在 (a-b)10展开式中, 系数最大的项是( ) A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项 D A 博学 笃志 雅行 厚德 1.已知: (2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+…+a9x+ a10. (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值; (2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值. 结论: 典例分析 解:(1)令x=1, 得 a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10= 310=59049 (2)令x=-1, 得 a0- a1+ a2-…… -a9+ a10= (-1)10=1 所以a0+ a2+ a4+…… + a10= =290525 博学 笃志 雅行 厚德 1.在 的展开式中: (1)求二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项的系数和与偶数项的系数和. 变式练习 解: (1) (2)令x=1,y=1, 得 (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和为512. (4)奇数项的系数和为 ; 偶数项的系数和为 . 博学 笃志 雅行 厚德 例3 求证: (n∈N, 且n≥2) 证: 又∵n≥2, 上式至少有三项, 且 >0 典例分析 ∴ (n∈N, 且n≥2) 博学 笃志 雅行 厚德 证: 要证 成立, 只需证 成立 变式练习 所以 博学 笃志 雅行 厚德 例4 1+2x)3(1-x