角度计算中的常见模型-数学暑假精品课（人教版）

角度计算中的常见模型 【人教版】 ·模块一 A字型 ·模块二 8字型 ·模块三 燕尾角 ·模块四 风筝型 ·模块五 课后作业 模块一 A字型 A字型 【条件】△ADE与△ABC. 【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C. 【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A， ∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证. 【例1】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【例2】如图，在中，，D是的中点，点E是边上一动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，则_____．    【例3】旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： （1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？ 初步应用： （2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝　50°　； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　∠P＝90°∠A　． 拓展提升： （4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．） 【变式1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________． 【变式2】如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC． 【变式3】如图，已知中，，平分，E是线段（除去端点A、D）上一动点，于点F．若，求的度数．    模块二 8字型 8字型 【条件】AD、BC相交于点O. 【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和) 【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°， ∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证. 【例1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【例2】如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【例3】如图，和中，交于M． (1)如图1，当时，的度数为 °； (2)如图2，当时，求的度数为 °； (3)如图3，当绕O点任意旋转时，与是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用表示，并用图3进行证明；若不确定，说明理由． 【变式1】如图所示，求的度数. 【变式2】如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 【变式3】如图，，，，，求和的度数． 【变式4】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：． （2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数． （3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是________； （4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________． 模块三 燕尾角 燕尾角 【条件】四边形ABDC如上左图所示. 【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和) 【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则： ∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明. 【例1.1】如图所示，已知四边形，求证． 【例2】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【例3】如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　） A．24° B．25° C．30° D．36° 【变式1】如图，已知分别交的边、于、，交的延长线于，，，，求的度数. 【变式2】如图，若，则____________． 【变式3】模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 （1）直接应用： ①如图2，，则__