一元二次方程的特殊解法-暑假精品课（人教版）

一元二次方程的特殊解法 【人教版】 ·模块一 用换元法解一元二次方程 ·模块二 含绝对值的一元二次方程的解法 ·模块三 配方法的应用 ·模块四 课后作业 模块一 用换元法解一元二次方程 【例1】已知，求的值． 【例2】已知的解是，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】若实数x满足，那么__________． 【变式3】阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2–3|x|+2=0． 解：设|x|=y，则原方程可化为：y2–3y+2=0． 解得：y1=1，y2=2． 当y=1时，|x|=1，∴x=±1； 当y=2时，|x|=2，∴x=±2． ∴原方程的解是：x1=1，x2=–1，x3=2，x4=–2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：x4–10x2+9=0． (2)解方程：–=1． (3)若实数x满足x2+–3x–=2，求x+的值． 【变式4】转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x4－3x2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x2＝y，将原方程转化为y2－3y－4＝0，解方程得到y1＝－1，y2＝4，因为x2＝y≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．请参考例题解法，解方程：． 【例2】阅读题例，解答下题： 例：解方程：． 解：将含有绝对值符号的方程中的绝对值去掉，就分情况考虑： （1）当，，解得（不合题意，舍去），； （2）当，，解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解是或． 依照上例解法，解方程． 【变式1】阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程．解分两种情况 （1）当x≥0时，原方程化为，解得（舍去） （2）当x<0时，原方程化为，解得（舍去） 综上所述，原方程的解是． 问题：仿照上面的方法，解方程． 模块三 配方法的应用 【例1】已知，为任意实数，则的值(    ) A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【例2】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：，利用配方法求的最小值， 解： ， 当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______． (2)若，求的最小值． (3)已知，则的值为______． 【例3】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ； (2)【问题解决】若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ； (3)【问题探究】已知“完美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为 ； (4)【问题探究】已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． (5)【问题拓展】已知实数x，y满足，求的最小值． 【变式1】若，则p的最小值是（    ） A．2021 B．2015 C．2016 D．没有最小值 【变式2】已知点在一次函数图象上，则的最小值为______． 【变式3】“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式最值； (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 模块四 课后作业 1．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题： （1）例：解方程． 解：当时，原方程可化为． 解得：，（不合题意，舍去） 当时，原方程可化为． 解得：，（不合题意，舍去） 原方程的解是，． （2）请参照上例例题的解法，解方程． 2．阅读下面材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得． 当时，，∴，； 当时，，∴，． 故原方程的解为：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数m满足，求的值． 3．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目