一元二次方程的解法（公式法）和根与系数的关系-暑假精品课（人教版）

一元二次方程的解法（公式法）和根与系数的关系 【人教版】 ·模块一 根的判别式 ·模块二 公式法解一元二次方程 ·模块三 根与系数的关系 ·模块四 课后作业 模块一 根的判别式 一元二次方程根的判别式 b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等得实数根 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等得实数根 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 【考点1 根据判别式判断方程根的情况】 【例1.1】关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【例1.2】已知实数k，现甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程讨论如下． 甲：该方程一定是关于x的一元二次方程 乙：该方程有可能是关于x的一元二次方程 丙：当时，该方程有实数根 丁：只有当且时，该方程有实数根 则下列判断正确的是（    ） A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丙说的对 D．乙和丁说的对 【例1.3】若是一元二次方程的一个根，那么方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【变式1.1】已知a为实数，下列关于x的一元二次方程一定有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1.3】对于一元二次方程，有下列说法： ①若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ②若方程有两个实数根，则方程一定有两个实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点2 已知根的情况确定字母的值或取值范围】 【例2.1】若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【例2.2】关于的方程有实数根，则的值不可能是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例2.3】若一元二次方程有两个相同的实数根，则的最小值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【变式2.1】关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2.2】在实数范围内，存在2个不同的的值，使代数式与代数式值相等，则的取值范围是___________． 【变式2.3】关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值． 【变式2.4】如果关于x的方程 (其中，，均为正数)有两个相等的实数根，证明：以，，为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征． 模块二 公式法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 【考点1 一元二次方程的求根公式】 【例1.1】用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例1.2】下列一元二次方程中，根是的是（ ） A． B． C． D． 【变式1.1】如果一元二次方程 能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式1.2】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，下列判断一定正确的是（    ） A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D． 【变式1.3】用公式法解一元二次方程，得：，则该一元二次方程是_______． 【考点2 公式法解一元二次方程】 【例2.1】一元二次方程的解为________． 【例2.2】一元二次方程的解为______． 【例2.3】已知，A的值与B的值互为相反数，求x． 【变式2.1】已知若分式的值为，则的值为______． 【变式2.2】（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当 　　时，它的根是：　　．用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． （2）小明在用公式法解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4