第一章 课时作业9 二面角-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 课时作业9 二面角 时间:45分钟 一、选择题 1. 已知向量m,n 分别是平面α 和平面β 的法 向量,若cos<m,n>=- 1 2 ,则α与β所成的 锐角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知两平面的法向量分别为m =(0,1,0), n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为 ( ) A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 3.在正方体 ABCD-A'B'C'D' 中,二 面 角 A-B'C-D'的余弦值是 ( ) A.12 B.- 1 2 C.13 D.- 1 3 4.设平面α 与平面β 的夹角为θ,若平面α,β 的法向量分别为n1,n2,则|cos θ|= ( ) A. n1·n2 |n1||n2| B.| n1·n2| |n1||n2| C.| n1|·|n2| n1·n2 D.| n1||n2| |n1·n2| 5.已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法 向量分别为a,b,若<a,b>= π 3 ,则二面角 α-l-β 的大小为 ( ) A.π3 B. 2π 3 C.π3 或2π 3 D. π 6 或π 3 6.在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB =4, BC=3,则二面角C-BB1-D1 的正切值为 ( ) A.35 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 7.如图,AB 是圆的直径,PA⊥ AC,PA⊥BC,C 是圆上一 点(不同于A,B),则二面角 P-BC-A 的平面角为 ( ) A.∠PAC B.∠CPA C.∠PCA D.∠CAB 8.若二面角α-l-β为 π 3 ,直线m ⊥α,则平面β 内的所有直线与m 所成角的取值范围是 ( ) A.0,π2 B.π6,π2􀭠􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 C.π3 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 D.π6 ,π 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 9.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2,AD=3,AA1=1,以D 为原点,以 DA→,DC→,DD1 → 分别为x 轴,y 轴,z轴正方 向建立空间直角坐标系,则下列说法正确 的是 ( ) A.BD1 → =(-3,-2,1) B.异面直线A1D 与BD1 所成角的余弦值 为2 35 35 C.平面A1C1D 的一个法向量为(-2,-3,6) D.二面角C1-A1D-D1 的余弦值为 3 7 10.(多选题)若将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角,则 ( ) A.AC 与BD 所成的角为90° B.AD 与BC 所成的角为45° C.BC 与平面ACD 所成角的正弦值为 62 D.平面ABC 与平面BCD 所成角的正切 值是 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 117 二、填空题 11.平面α与平面β相交所成的角为60°,α与β 的交线上有A,B 两点,直线AC,BD 分别 在平面α 与β 内,且都垂直于AB.已知 AB =AC =BD =2,则 CD 的 长 为 . 12.在空间中,已知平面α 过(3,0,0)和(0,4,0) 及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与 平面xOy的夹角为45°,则a= . 三、解答题 13.如图所示,已知四棱锥P-ABCD 中,四边 形ABCD 为正方形,三角形PAB 为正三 角形,侧面PAB ⊥ 底面ABCD,M 是棱 AD 的中点. (1)求证:PC⊥BM; (2)求二面角B-PM-C 的正弦值. 14.如图所示,在三棱锥A-BCD 中,侧棱AB⊥ 平面BCD,F 为线段BD 中点,∠BCD = 2 3π ,AB=3,BC=CD=2. (1)证明:CF ⊥ 平面ABD; (2)设 Q 是 线 段 AD 上 一 点,二 面 角 A-BQ-C 的余弦值为- 34 ,求DQ DA 的值. 15.《九章算术》中,将四个面 都是直角三角形的四面体 称为“鳖臑”,如图所示,四 面体PABC