1.2.4 二面角(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

1.2.4 二面角 [课标解读]理解二面角和二面角的平面角的概念,会用几何法和向量法求二面角的大小. [素养目标]1.通过学习二面角的相关概念,提升学生的数学抽象素养. 2.通过二面角的求解,提高学生的直观想象、数学运算等素养. 二面角及其度量 1.定义 平面内的一条直线把一个平面分成两部 分,其中的每一部分称为一个 .从一条 直线 出 发 的 两 个 半 平 面 所 组 成 的 图 形 称 为 ,这条直线称为二面角的 ,这 两个半平面称为二面角的 . 2.二面角的平面角 如图所示,在二面角α-l-β 的棱上任取一点 O,以 O 为垂足,分别在半平面α 和β 内作 棱的射线OA 和OB,则 称为二面角的平面角.二面角的大小 等于它的平面角大小. 3.直二面角 平面 角 是 的 二 面 角 称 为 直 二 面角. 4.范围 二面角的取值范围是 . 用空间向量求二面角的大小 设n1,n2 分别是平面α1,α2 的一个法向量, 设α1与α2所成角的大小为θ,则θ=<n1,n2>或 θ=π-<n1,n2>.即sin θ= . 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)二面角的大小范围是 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . ( ) (2)二面角的大小等于其两个半平面的法向 量的夹角的大小. ( ) (3)若二面角α-l-β 的大小为90°,则α⊥β. ( ) 2.在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC=60°,将 菱形沿对角线AC 折起,使折起后BD=1,则 二面角B-AC-D 的余弦值为 ( ) A.13 B. 1 2 C.233 D. 3 2 3.A,B是二面角α-l-β的棱l上两点,P是平面β 上一点,PB⊥l于B,PA 与l成45°角,PA 与 平面α 成30°角,则二面角α-l-β 的大小是 ( ) A.30° B.60° C.45° D.75° 4.如图,二面角α-l-β 的大小是60°,线段AB ⊂ α.B∈l,AB 与l所成的角为30°,则AB 与平 面β 所成角的正弦值是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 028 第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 定义法求二面角 [例1] (1)已知二面角的棱上有A,B 两 点,直线AC,BD 分别在这个二面角的两个半平 面内,且都垂直于AB,已知AB =4,AC =6, BD=8,CD=2 17,则该二面角的大小为 ( ) A.150° B.45° C.120° D.60° (2)如图,AB 是 ☉O 的直 径,PA 垂直于☉O 所在平面,C 是圆周上不同于A,B 两点的任 意一点,且AB=2,PA=BC= 3,则二面角A-BC-P 的大小为 . 学生试答: 　　1.求二面角大小的步骤（一作二证三求） 　　2.作二面角的平面角的3种方法 定 义 法 在棱上取点，分别在两平面内引两条射线与 棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的 平面角 垂 面 法 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两 垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即 为二面角的平面角 垂 线 法 过二面角的一个面内异于 棱上的A 点向另一个平面 作垂线，垂足为B，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO， 则 ∠AOB 为二面角的平面角或其补角，如 图，∠AOB 为二面角α-l-β的平面角 变式训练1 如图,空间四 边形ABCD 中,AB=BC=CD= DA=a,对角线AC =a,BD = 2a,求二面角A-BD-C的大小. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 向量法求二面角 [例2] 如图,