1.2.3 直线与平面的夹角(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

1.已知平面α的一个法向量为n=(2,-1,0),则 下列向量中与α 垂直的是 ( ) A.(-1,1,1) B.1,3, 3 2 C.3,- 3 2 ,0 D.(4,-2,2) 2.在空间直角坐标系中,平面zOx 的一个法向 量是 ( ) A.(1,0,0) B.(0,1,0) C.(0,0,1) D.(0,1,1) 3.已知平面α 的一个法向量是(2,3,-1),平面 β 的一个法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则λ 的值是 ( ) A.- 10 3 B.6 C.-6 D. 10 3 4.若直线l的一个方向向量为a=(1,0,2),平面 α 的一个法向量为u=(-2,0,-4),则直线l 与平面α 的关系为 . 5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 DD1 的中点,O 为底面ABCD 的中心,求证: OB1 →是平面PAC 的一个法向量. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.2.3 直线与平面的夹角 [课标解读]1.了解直线与平面的夹角的三种情况,理解斜线和平面所成角的概念.2.了解三个角θ,θ1,θ2 的意义,会 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2 求平面的斜线与平面内的直线的夹角.3.会用向量法求线面角. [素养目标]1.通过学习直线与平面夹角的概念,提升学生的数学抽象素养. 2.通过线面角的求解,提升学生的数学运算等素养. 直线与平面的夹角 1.如图(1)所示,如果一条直线与一个平面 垂直,则 称 这 条 直 线 与 这 个 平 面 所 成 的 角 为 . 2.如图(2)所示,如果一条直线与一个平面 平行,或直线在平面内,则称这条直线与这个平 面所成的角为 . 3.平面的斜线与平面所成的角 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐 角,称为这条斜线与平面所成的角. 综上,直线和平面所成的角的范围为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 024 第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 线面角的性质 1.线线角、线面角的关系 如图,OA 为平面α的斜线,OA'是OA 在平 面α内的射影,OM 为平面α内过O 点的任一直 线,设 ∠AOA'=θ1,∠A'OM =θ2,∠AOM = θ,则 . 2.最小角定理 ∵0≤cos θ2≤1,∴cos θ≤cos θ1.又θ1和 θ都是锐角,所以可得 ,这就是最小角 定理,即平面的斜线与 所成的角,是斜 线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 用空间向量求直线与平面的夹角 设v是直线l的一个方向向量,n是平面α的 一个法向量,设直线l与平面α 所成角的大小为 θ,则θ= π 2- <v,n>或θ=<v,n>- π 2 ,即cos θ= ,sin θ= . 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)直线与平面所成的角的余弦值一定是非 负值. ( ) (2)直线与平面所成的角就是直线的方向向 量与平面的法向量所成的角. ( ) (3)直线与平面所成角的范围为[0°,90°]. ( ) (4)直线与平面夹角的余弦值等于直线与该 平面法向量夹角的余弦值. ( ) 2.已知线段AB=8,AB 在平面α 内的射影长 为4,则直线AB 与平面α 所成的角θ为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 3.已知向量m,n 分别是直线l和平面α 的方向 向量和法向量,若cos􀎮m,n􀎯=- 1 2 ,则l与α 所成的角为 . 4.正四面体ABCD 中棱AB与底面BCD 所成角 的余弦值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用定义求线面角 [例1] 如图,正四棱锥P-ABCD 的底面 边长为 6,高为1,求直线BE 与平面PAC 所成 的角. 学生试答: 　　 求直线和平面所成角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平