1.2.1 空间中的点、直线与空间向量(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 1.点 M(1,2,0)在空间直角坐标系中的位置 是在 ( ) A.z轴上 B.xOy 平面内 C.yOz平面内 D.zOx 平面内 2.在空间直角坐标系中,若点P 的坐标为(3, -2,1),则点P 关于坐标平面zOx 的对称点 的坐标为 ( ) A.(-3,-2,-1) B.(3,2,1) C.(-3,2,-1) D.(3,-2,-1) 3.棱长为2的正方体在坐标系中的位置如图所 示,则坐标为(1,1,1)的点为 ( ) A.面AC 的中心 B.面CD'的中心 C.正方体的中心 D.面A'C'的中心 4.已知A(x +1,2y-1,4),B(2,-y,1),若 AB= 22,且点B 到原点的距离为 6,则x+ y= . 5.已知正四棱锥P-ABCD 的底面边长为4,侧 棱长为10,试建立适当的空间直角坐标系,写 出各顶点的坐标. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 [课标解读]1.了解直线的方向向量.2.会用向量方法证明线线平行、垂直,会利用向量求两条直线所成的角. [素养目标]1.通过对直线的方向向量的理解,提升学生的数学抽象素养. 2.通过用向量方法证明(判断)线线平行、垂直及计算两直线所成角,提升学生的数学运算等素养. 空间中的点与空间向量 如果在空间中指定一点O,那么空间中任意 一点P 的位置,都可以由向量OP→ 唯一确定,此 时,OP→称为点P 的 . 空间中的直线与空间向量 1.如果l是空间中的一条直线,v是空间中 的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直 线与l平行或重合,则称v为直线l的一个 ,此时,也称向量v 与直线l ,记 作 . 2.如果v1 是直线l1 的一个方向向量,v2 是直 线l2的一个方向向量,则v1∥v2⇔ . 空间中两条直线所成的角 1.两条直线所成的角 空间中两条相交直线所成角的大小,指的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 017 是它们相交所得到的不大于直角的角的大小; 两条异面直线a,b所成角的大小,等于两条相 交直线a',b' 所成角的大小,其中a'∥a 且 b'∥b;空间中两条平行直线所成角的大小规 定为0°. 2.两直线垂直 当空间中两条直线l,m 所成角的大小为 90°时,l与m ,记作 . 3.设v1,v2 分别是空间中直线l1,l2 的方向 向量,且l1 与l2 所成角的大小为θ,则 (1)θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>, 特别地,sin θ= 或cos θ= . (2)l1⊥l2⇔ ⇔ . 异面直线与空间向量 1.异面直线的判断 设v1,v2 分别是空间中直线l1,l2 的方向向 量,A,B 分别是l1,l2上的点,则v1,v2,AB →不共 面 ⇔l1 与l2 异面. 2.公垂线段 如果l1 与l2 是空间中两条异面直线,M ∈ l1,N ∈l2,MN ⊥l1,MN ⊥l2,则称MN 为l1 与l2 的公垂线段. 3.两条异面直线的公垂线段的长,称为这 两条异面直线之间的 . 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)空间一条直线的方向向量是唯一的.( ) (2)若向量v是直线l的一个方向向量,则向 量kv也是直线l的一个方向向量. ( ) (3)两异面直线所成的角与两直线的方向向 量所成的角相等. ( ) 2.(多选题)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 长为1,则 ( ) A.直线DD1 的一个方向 向量为(0,0,1) B.直线AB 的一个方向向量为(0,0,1) C.直线BC1 的一个方向向量为(0,1,1) D.直线B1D 的一个方向向量为(1,1,1) 3.若两条不重合直线l1,l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),则 ( ) A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l1,l2 相交但不垂直 D.不能确定 4.已知直线l1与l2的方向向量分别为a=(0,2, 1),b=(-1,1,-2),则l1 与l2 的夹角为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋