1.1.2 空间向量基本定理(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教B版)

1.1.2 空间向量基本定理 [课标解读]1.理解共面向量定理以及空间向量基本定理,并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.2.理解空间 向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念,并能应用其解决有关问题. [素养目标]1.通过理解共线(平行)向量、共面向量定理以及空间向量基本定理,提升学生的数学抽象素养. 2.能运用共线定理和共面定理证明空间向量共线和共面问题,提升学生的逻辑思维素养. 3.通过空间向量基本定理研究向量的数量积等问题,提升学生的数学运算等素养. 空间中共线向量与共面向量定理 名称 内容 共线向 量基本 定理 如果a≠0且b∥a,则存在 实数λ,使 得b=λa 共面向 量定理 如果两个向量a,b ,则向量a,b,c共面 的充要条件是,存在 实数对(x,y),使 c=xa+yb 四点共 面的判 断方法 如果A,B,C三点 ,则点P在平面ABC 内的充要条件是,存在 实数对(x,y), 使AP→=xAB→+yAC→ 对空间任一点O,若OP→=xOA→+yOB→+zOC→,则 P,A,B,C四点共面的充要条件是x+y+z=1 空间向量基本定理 1.定理 如果空间中的三个向量a,b,c ,那 么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序 实数组 ,使得p=xa+yb+zc. 2.相关概念 名称 内容 线性组合或 线性表达式 表达式 一般称为向量a,b,c的线 性组合或线性表达式 基底与 基向量 不 共 面 的 三 个 向 量 a,b,c 组 成 的 集 合 ,称为空间向量的一组基底,此时 都称为基向量 续表 名称 内容 分解式 如果p=xa+yb+zc,则称 为p 在基底{a,b,c}下的分解式 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若存在唯一的实数对(λ,μ),使a=λe1+ μe2(其中e1,e2 不共线),则向量a,e1,e2 共面. ( ) (2)任意三个向量都可构成空间的一组基底. ( ) (3)如果所给向量a,b,c不共面,那么它们的 线性组合xa+yb+zc 可以生成部分空间 向量. ( ) 2.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一 定是 ( ) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 3.若O,A,B,C为空间中四点,且向量OA→,OB→, OC→不能构成空间向量的一组基底,则 ( ) A.OA→,OB→,OC→共线 B.OA→,OB→共线 C.OB→,OC→共线 D.O,A,B,C 四点共面 4.已知{e1,e2,e3}是空间的一组基底,若λe1+ μe2+ve3=0,则λ2+μ2+v2= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 008 第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 空间向量的共线问题 [例 1] 如 图,正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中,O为A1C 上一点,且A1O → = 2 3A1C →,BD 与 AC 交于点 M.求证:C1,O,M 三点共线. 学生试答: 　　1.要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找 图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法 则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向 量的倍数关系，即可证得这两向量共线. 　　2.证明空间三点P，A，B 共线的方法 (1)PA→=λPB→(λ ∈R). (2)对空间任一点O，OP→=OA→+tAB→(t∈R). (3)对空间任一点O，OP→=xOA→+yOB→(x+y =1). 变式训练 1 如 图 所 示,已 知 四 边 形 ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面,M,N 分 别是AC,BF 的中点,判断CE→与MN→是否共线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 空间向量的共面问题 [例2] 如图所示,已知 矩形ABCD和矩形ADEF所 在的平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线BD,AE 上,且 BM