专题1.5 一定是直角三角形吗（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.5 一定是直角三角形吗（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】直角三角形的判定 1.直角三角形的判定 如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形。 2.利用边角关系判断直角三角形的步骤： （1）.找：找三角形三边中的最长边； （2）.算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）.判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形。 3.拓展 当两短边平方和大于最长边的平方时，该三角形为锐角三角形；当 当两短边平方和小于最长边的平方时，该三角形为钝角三角形 【知识点2】勾股数 1. 勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数，勾股数有多数组 构成勾股数必须同时满足两个条件： （1） 三个数都是正整数； （2） 两个较小的平方和等于最大数的平方. 2. 判别一组数是否为勾股步骤： （1）.看：看是不是三个正整数； （2）.找：找最大数； （3）.算：计算最大数的平方和两个较小数的平方和； （4）.若两者相等，则这个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数。 【考点一】利用直角三角形的判定进行判断 【例1】已知，，为的三边长，并且满足条件，试判断的形状． 【答案】等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形. 【分析】对已知等式运用因式分解变形，得到，即a-b=0或a2+b2=c2，通过分析判断即可解决问题． 解：， ， ， ， 则a-b=0或a2+b2=c2， 当a-b=0时，△ABC为等腰三角形； 当a2+b2=c2时，△ABC为直角三角形． 当a-b=0且a2+b2=c2时，△ABC为等腰直角三角形． 综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【点拨】本题主要考查了因式分解在几何中的应用问题；解题的关键是：灵活变形、准确分解、正确判断． 【举一反三】 【变式1】以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15 【答案】B 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意； B、42+52≠62，故不是直角三角形，符合题意； C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意； D、92+122=152，故是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点拨】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 【变式2】如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论． 解：由题意得：， ，， ∵， ∴， ∴∠BAC＝90°， ∴为直角三角形． 故选：B． 【点拨】本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键． 【考点二】利用勾股定理的定义识别勾股数 【例2】《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A．16 B．17 C．25 D．64 【答案】B 【分析】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案． 解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A， ∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17， 故A＝17， 故选：B． 【点拨】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算“由 m 生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同． 【举一反三】 【变式1】下列各组数是勾股数的是(     ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 解：A、，是勾股数，符合题意； B、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，故不是勾股数，不