21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 专题训练2023-2024学年湖北省黄冈地区人教版数学九年级上册

2023-2024学年黄冈地区九年级上册一元二次方程根与系数的关系 专题训练题 一、解答题 1．已知方程的两个根分别为和，不解方程，求下列各式的值： (1)； (2)． 2．已知：x1，x2是x2+8x+m＝0的两个实数根，且＝60求． （1）m的值； （2） 3．（1）设是方程的两个根，求下列各式的值： ①； ②； （2）关于x的方程的两实数根满足，求k的值． 4．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． (2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 5．已知实数m、n满足3m2+6m－5=0，3n2+6n－5=0，求的值． 6．关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若的两条直角边的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 7．已知关于的方程， (1)若方程有实数根，求的取值范围． (2)是否存在这样的实数，使方程的两根满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 8．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个正实数根，，且，求m． 9．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使此方程两个实数根的平方和等于2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 10．已知关于的方程. (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求的值. 11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b（a＜b），AB＝5，a，b是方程x2﹣（m﹣1）x+（m+4）＝0的两根． (1)求a，b； (2)P，Q两点分别从A，C出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC，BC向终点C，B运动（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后PQ＝2？ 12．已知关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若的一条边BC的长为，另两边的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根．当时，请判断的形状，并说明理由； (3)设方程两实数根分别为，且，求实数k的值． 13．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2﹣4x﹣5＝0；       ②2x2﹣2x+1＝0； (2)已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； (3)若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式． 14．已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． (3)当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？ 15．【问题背景】若是一元二次方程的两个根，则利用求根公式得，其中．根据问题背景回答下列问题： (1)直接写出一元二次方程的两个根__________，__________； (2)在（1）的条件下，写出__________，__________； (3)在（2）的条件下，求出下列式子的值． ①； ② 16．已知一元二次方程的两个根是，，则______， ______． （1）若实数m、n满足，，则的值是______． （2）若实数s、t分别满足，，且．求的值． 17．设，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 18．关于x的方程kx2＋（k＋1）x＋＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程有两不等实根且他们的倒数和为0？若存在，求出k值；若不存在，说明理由． 19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，设方程的两根分别为x1，x2，求x12+x22的值； （3）若k为正整数，且该