圆锥曲线最值范围练习-2023届高三数学二轮复习

圆锥曲线最值、范围练习 1. （2022·德阳三模）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围． 2. （2022·德阳三模）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程；(2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且＝λ，求实数λ的取值范围． 3．设双曲线，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点． (1)求直线l倾斜角的取值范围； (2)直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求面积的最小值，并求此时l的方程． 4　（2022·湖北模拟）如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1．(1)求p的值； (2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．求M的横坐标的取值范围． 5. （2022·青岛高三模拟）已知椭圆C：的离心率为,,分别为椭圆C的左、右焦点,过且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A,B,且的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M,N两点,且,求的最大值． 圆锥曲线最值、范围练习 1.【解析】(1)设T(x，y)，由题意知A(－4，0)，B(4，0)， 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝， 由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1． 故椭圆C的方程为＋＝1． (2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立方程消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0． 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－． 从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝＝－20＋，所以－20＜·＋· ≤－． 当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20． 综上，·＋·的取值范围为． 2.【解析】(1)设C(x，y)．由题意，可得·＝－2(x≠±1)，∴曲线E的方程为x2＋＝1(x≠±1)． (2)设R(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立，得消去y，可得(2＋k2)x2＋4kx＋2＝0， ∴Δ＝8k2－16＞0，∴k2＞2．又0＜k＜2，∴＜k＜2． 由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，①，x1x2＝，② ∵＝λ，点R在点P和点Q之间，∴x2＝λx1(λ＞1)，③ 联立①②③，可得＝．∵＜k＜2，∴＝∈(4，)，∴4＜＜， ∴＜λ＜3，且λ≠1，∵λ＞1，∴实数λ的取值范围为(1，3)． 3（1） 由双曲线得， 则右焦点，显然直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为，由得， 因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设， 则， 解得， 当时，直线l倾斜角，当时，直线l的斜率或， 综上，直线l倾斜角的取值范围为 （2） 因为O是AB中点，所以 ，令，则 ，其中，且 又在单调减，所以， 当，即时求得，此时直线l的方程为 4.【解析】(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离， 由抛物线的定义得＝1，即p＝2． (2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1． 因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由，消去x得y2－4sy－4＝0， 故y1y2＝－4，所以B． 又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为－． 从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，所以N． 设M(m，0)，由A，M，N三点共线得＝，于是m＝＝2＋． 所以m<0或m>2．经检验，m<0或m>2满足题意． 综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． 5.【解析】（1）因为椭圆C的离心率为,所以①． 将代入,得, 所以, 则,即②． 由①②及,得,, 故椭圆C的标准方程为． （2）由题意知,直线l的斜率不为0,则不妨设直线l的方程为． 联立得消去x得, ,化简整理,得． 设,,则,． 因为,所以． 因为,所以,, 得, 将,代入上式,得, 得, 解得或（舍去）, 所以直线l的方程为,则直线l恒过点, 所以． 设,则,, 易知在上单调递增, 所以当时,取得最大值,为． 又, 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $