第13讲 探索勾股定理-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（浙教版）

第13讲 探索勾股定理 1．掌握勾股定理的概念； 2．掌握勾股定理的证明方法； 3、学会运用勾股定理解三角形； 知识点一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 考点一：勾股定理的证明方法 例1．（2023秋·八年级单元测试）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 ．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．5 2．（2023春·山西忻州·八年级统考阶段练习）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为_____． 3．（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式　　；在推得这个公式的过程中，主要运用了　　 A．分类讨论思想     B．整体思想     C．数形结合思想      D．转化思想 （2）如图2，，，且在同一直线上．求证：； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．    考点二：勾股树问题 例2．（2023·四川泸州·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【变式训练】 1．（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）下列是勾股数的一组数是（　　） A． 、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．（2023·四川泸州·统考二模）周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是______ ． 3．（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5是一组“勾股数”． (1)判断8，15，17是不是一组“勾股数”，并说明理由； (2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明． 考点三：以弦图为背景的计算题 例3．（2023春·全国·八年级期末）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，若的值为75，则正方形的边长为（    ） A．5 B．