第12讲 直角三角形与直角三角形全等的判定-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（浙教版）

第12讲 直角三角形与直角三角形全等的判定 1．掌握直角三角形的特征与性质； 2．掌握含30°角的直角三角形的性质； 3、掌握直角三角形的斜边中线定理； 4、掌握直角三角形的判定方法； 知识点、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 知识点．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 考点一：直角三角形的两个锐角互余 例1．（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·江苏连云港·校考二模）如图，在中，．将绕点按逆时针方向旋转得，且点在上，交于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，，，，则_________．    3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在中，．    (1)若，求的度数． (2)画的平分线交于点D，过点D作于点E．若，求的长．（画图工具不限） 考点二：含30°角的直角三角形 例2．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，如果，则的长为（　　）    A． B．3 C．5 D．6 【变式训练】 1．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，D为上一点，，则的长为（    ）    A．8 B．7 C．6 D．5 2．（2023春·广东佛山·八年级佛山市第十四中学校考期中）已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则______________．    3．（2023春·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）如图，在中，，．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出该三角形边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的面积． 考点三：斜边的中线等于斜边的一半 例3．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1、（2021·广东广州·广州市第八十九中学校考三模）如图，已知点P是平分线上的一点，，，M是的中点，．若点C是上一个动点，则的最小值为（　　）． A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长是______．    3．（2023春·八年级单元测试）如图，在和中，，E是的中点． (1)求证：； (2)若，求． 考点四：利用“HL”判定两个直角三角形全等 例4．（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，平分，于C，于D，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，，有下列结论：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．只有① 2．（2023秋·八年级课时练习）如图，中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为____________.    3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．    (1)求证：； (2)求证：． 1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（    ）    A