第10讲 等腰三角形的性质与判定定理-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（浙教版）

第10讲 等腰三角形的性质与判定定理 1．掌握等腰三角形的概念； 2．掌握等腰三角形的性质； 3、掌握等腰三角形的判定定理； 知识点：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 考点一：等腰三角形的定义 例1．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）已知点在第一象限，若在轴上确定点使得为等腰三角形，则点的坐标有（    ）种可能 A．3 B．4 C．1或3 D．2或4 【变式训练】 1．（2021秋·广东河源·八年级校考期末）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画 （    ）    A．条 B．条 C．条 D．条 2．（2023春·江西景德镇·八年级景德镇二中校考期中）等腰三角形的两边长分别是3cm、7cm，则它的周长为___________cm． 3．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 考点二：等腰三角形的三线合一 例2．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是中线，是角平分线，与交于点O，则的度数为（　　） A．130° B．125° C．120° D．115° 【变式训练】 1．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，中，，，点E，F，G是上任意三点，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，线段、的垂直平分线a、b交于点O，连接，，若，则的度数是______． 3．（2023春·七年级单元测试）如图，等腰三角形的底边，是的角平分线，是边上的点，且．    (1)作出点E关于的对称点F． (2)求的长． 考点三：等腰三角形的性质定理 例3．（2022秋·八年级课时练习）在等腰三角形中，是的高，若，则的底角的度数为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【变式训练】 1．（2022秋·河北承德·八年级统考期中）如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点，若BC=6，则BD的长为(        ) A．3 B．4 C．6 D．8 2．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，一艘船从处出发向正北航行50海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是_______海里． 3．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数． 考点四：格点图中的等腰三角形 例4．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在小长方形组成的网格中，每个小长方形的长为4，宽为2，A、B两点在网格的格点上，若点C也在网格的格点上，且是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（    ） A．1