1.3.1 空间直角坐标系(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

1.(多选题)下列说法正确的是 ( ) A.任何三个不共面的向量可构成空间的一个 基底 B.空间的基底有且仅有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一 个基底 D.直线的方向向量有且仅有一个 2.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以和向 量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是 ( ) A.a B.b C.a+2b D.a+2c 3.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',OA→=a, OC→=c,OO' → =b,D 是四边形OABC的对角线 交点,则 ( ) A.O'D→=-a+b+c B.O'D→=-b- 1 2a- 1 2c C.O'D→= 1 2a-b- 1 2c D.O'D→= 1 2a-b+ 1 2c 4.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC = 120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值为 . 5.如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形,G 为△PDC的重心,AB→=i,AD → = j,AP → =k,试 用 基 底{i,j,k}表 示 向 量 PG→,BG→. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 [课标解读]1.会建立空间直角坐标系(右手直角坐标系)，会由点的坐标确定点的位置.2.能在空间直角坐标系中求 出点的坐标. [素养目标]水平一:确定空间点的位置及求点的坐标.(数学建模) 水平二:对空间直角坐标系的理解.(数学抽象) 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 如图所示,OABC-D'A'B'C'是单位正方体. 以O 为原点,分别以射线OA,OC,OD'的方向 为正方向,以线段OA,OC,OD'的长为单位长, 建立三条数轴: .这时 我们说建立了一个空间直角坐 标系Oxyz,其中点O 叫做坐标 原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分 别称为Oxy 平面、Oyz平面、Ozx 平面. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 012 第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 2.建立空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的分类 就坐标轴的方向而言,我们分右手系和左 手系,一般我们采用 . 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指 指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角 坐标系. (2)空间直角坐标系(右手系)的画法 ①x 轴与y 轴成135°,x 轴与z轴成135°. ②y 轴垂直于z轴,y 轴和z轴的单位长度 相等,x 轴上的单位长度等于y轴单位长度的一 半(即斜二测画法). ③ 每两条坐标轴确定的平面Ozx,Oxy, Oyz两两垂直. 空间向量的坐标 1.空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k 为坐标 向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA→,且 点A 的位置由向量OA→唯一确定,由空间向量基 本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 OA→=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下 与向量OA→对应的 ,叫做点A在空间直 角坐 标 系 中 的 坐 标,记 作 ,其 中 叫做点A 的横坐标, 叫做点 A 的纵坐标, 叫做点A 的竖坐标. 2.空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz 中,给定向量a, 作OA→=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有 序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实 数组 叫做a在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标,上式可简记作a= . 注意:(1)特殊点P 的坐标特征 x 轴上的点的纵坐标、竖坐标一定为0, 即 ; y 轴上的点的横坐标、竖坐标一定为0, 即 ; z 轴上的点的横坐标、纵坐标一定为0, 即 ; Oxy 平 面 上 的 点 的 竖 坐 标 一 定 为 0, 即 ; Oyz 平 面 上 的 点 的 横 坐 标 一 定 为 0, 即 ; Ozx 平 面 上 的 点 的 纵 坐 标 一 定 为 0, 即 . (2)对称点的坐标特征 与 点 P(x,y,z)关 于 原 点 对 称 的 点 为P1 ; 与 点 P(x,y,z)关 于 x 轴 对 称 的 点 为P2 ; 与 点 P(x