1.2 空间向量基本定理(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 1.已知向量a,b是平面α 内两个不相等的非零 向量,非零向量c在直线l上,则c·a=0,且 c·b=0是l⊥α 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知e1,e2 是夹角为60°的两个单位向量,则 a=e1+e2 与b=e1-2e2 的夹角是 ( ) A.60° B.120° C.30° D.90° 3.已 知 四 边 形 ABCD 为 矩 形,PA ⊥ 平 面 ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列 各组向量中,数量积不一定为零的是 ( ) A.PC→与BD→ B.DA→与PB→ C.PD→与AB→ D.PA→与CD→ 4.如图,在长方体ABCD- A1B1C1D1 中,AD =AA1= 1,AB =2,P 是C1D1 的中 点,则B1C → 与A1P → 的夹角的 大小为 ,B1C →·A1P → = . 5.如 图 所 示,已 知 △ADB 和 △ADC 都是以D 为直角顶点 的直角三角形,且AD=BD= CD,∠BAC=60°. 求证:BD ⊥ 平面ADC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.2 空间向量基本定理 [课标解读]掌握空间向量基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题. [素养目标]水平一:空间向量基本定理的应用.(数学抽象) 水平二:应用空间向量基本定理解决问题.(数学建模) 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一 个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y, z),使得p=xa+yb+zc. 设向量a,b,c 不共面(如 图所示).过点 O 作OA→ =a, OB→=b,OC → =c,OP → =p,过点 P 作直线PP'平行于OC,交平 面OAB 于点P',在平面OAB 内,过P'作直线 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线OA,OB 相交于点A',B',于是存在三个实数x,y,z,使 OA'→=xOA → =xa,OB' → =yOB → =yb,P'P → =zOC → = zc,OP→=OA' → +OB' → +P'P → =xOA → +yOB → +zOC →, 即OP→=p=xa+yb+zc①.如果p=xa+yb+ zc=x'a+y'b+z'c,那么可推出x=x',y=y', z=z',这也证明了表达式 ① 是唯一的. 2.基底与基向量 由空间向量基本定理知,如果三个向量a, b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是 {p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合 可看作由向量a,b,c生成,我们把{a,b,c}叫做 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 009 空间的一个基底,a,b,c叫做基向量,空间任意 三个 不 共 面 的 向 量 都 可 以 构 成 空 间 的 一 个 基底. 3.单位正交分解与正交分解 特别地,如果空间的一个基底中的三个基 向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫 做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.由空间向 量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可 以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+ zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂 直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 1.(1)空间中怎样的向量能构成基底? (2)基底与基向量的概念有什么不同? 2.空间的基底唯一吗? 3.为什么空间向量基本定理中x,y,z 是唯 一的? 4.构成基底的三个向量中,可以有零向量吗? 5.单位正交基底之间的数量积如何运算? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 空间向量基本定理的理解 [例1] 已知{e1,e2,e3}是空间的一个基 底,且OA→=e1+2e2-e3,OB → =-3e1+e2+2e3, OC→=e1+e2-e3,试判断{OA →,OB→,OC→}能否作 为空间的一个基底. 学生试答: 　　 判断给出的三