1.1.2 空间向量的数量积运算(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 1.在 △ABC 中,D 是线段AB 上靠近B 的三等 分点,E 是线段AC 的中点,BE 与CD 交于F 点,若AF→=aAB → +bAC →,则a,b的值分别为 ( ) A.12 ,1 4 B. 1 4 ,1 2 C.13 ,1 5 D. 1 2 ,1 3 2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,M 为A1C1的中点,若AB → = a,AA1 → =c,BC → =b,则BM → 可 表示为 ( ) A.- 1 2a+ 1 2b+c B. 1 2a+ 1 2b+c C.- 1 2a- 1 2b+c D. 1 2a- 1 2b+ c 3.(多选题)下列条件中,点P 与A,B,C三点一 定共面的是 ( ) A.PC→= 1 3PA → + 2 3PB → B.OP→= 1 3OA → + 1 3OB → + 1 3OC → C.OP→=OA → +OB → +OC → D.OP→+OA → +OB → +OC → =0 4.已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一 点O,有OM→=xOA → + 1 3OB → + 1 2OC →,则x 的 值为 . 5.如图,已知三棱锥A-BCD 中,向量AB→=a, AC→=b,AD → =c,若 M 为BC 的中点,G 为 △BCD 的重心,试用a,b,c表示下列向量: (1)DM→;(2)AG→. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.1.2 空间向量的数量积运算 [课标解读]1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律. 2.会用两个向量的数量积解决立体几何中一些简单的问题． [素养目标]水平一:空间向量的数量积运算．(数学运算) 水平二:利用空间向量解决夹角、距离等问题．(数学运算、数学建模) 空间向量的夹角 1.定义 (1)条件:a,b是空间的两个非零向量. (2)作法:在空间任取一点O,作OA→=a, OB→=b. (3)结论: 叫做向量a,b 的夹角, 记作<a,b>. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 005 2.范围 <a,b>∈ [0,π],其中, (1)当<a,b>=0时,a与b的方向 . (2)当<a,b>=π时,a与b的方向 . (3)当<a,b>= π 2 时,a与b互相 , 记作a⊥b. 空间向量的数量积 1.空间向量的数量积 (1)定义: 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b> 叫做a,b 的数量积,记作a·b.即a·b = |a||b|cos<a,b>. (2)运算律: ① 结合律:(λa)·b=λ(a·b),λ∈R; ② 交换律:a·b=b·a; ③ 分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 2.空间向量数量积的性质 序号 性质 (1) a·e=|a|cos<a,e>(其中e为单位向量) (2) 若a,b为非零向量,则a⊥b⇔a·b=0 (3) a·a=|a|2 或|a|= a·a = a2 (4) 若a,b为非零向量,则cos<a,b>= a·b |a||b| (5) |a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时等 号成立) 3.投影向量:在空间,向量a向向量b投影, 由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移 到同一个平面α 内,进而利用平面上向量的投 影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos<a,b>· b |b| ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 向量a向平面β投影,就是分别由向量a的 起点A 和终点B 作平面β 的垂线,垂足分别为 A',B',得到向量A'B'→,向量A'B'→称为向量a 在 平面β上的投影向量.这时,向量a,A'B' →的夹角 就是向量a所在直线与平面β 所成的角. 利用数量积解决立体几何问题 空间向量数量积的性质可以看作其定义的 引申和拓展,空间向量数量积与向量的模和夹 角有关,可以以它为工具,解决立体几何中与夹 角和距离有关的问题. 常有以下应用: (1)求空间两点间的距离或线段长度转化 为求相应向量的模; (2)求空间两条直线的夹角转化为求两条 直线方向向量的夹角,但要注意空间两条直线 的夹角与方向向量的夹角的范围限制; (3)和垂直相关的问题可转化为向量的数 量积为零的相关问题. 1.若a,b是空间的两个非零向量