1.1.1 空间向量及其线性运算(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 [课标解读]1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算 律.3.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律. [素养目标]水平一:1.空间向量加减运算及其几何意义.(数学运算)2.应用共线定理与共面定理解决共线问题与共 面问题.(数学抽象) 水平二:1.向量加减运算由平面向空间的推广.(直观想象)2.证明线面平行与面面平行.(数学建模) 空间向量的有关概念 1.定 义:在 空 间,把 具 有 和 的量叫做空间向量. 2.长度:空间向量的 叫做空间向 量的长度或 . 3.表示法 (1)几 何 表 示 法:空 间 向 量 用 表示. (2)字母表示法:用字母表示,若向量a 的 起点是A,终点是B,则向量a 也可以记作AB→, 其模记为|a|或|AB → |. 4.几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为 的向量 0 单位向量 模为 的向量 |a|=1或 |AB→|=1 相反向量 与a 长度 而方 向 的向量,称为 a的相反向量 -a 相等向量 方向 且模 的向量 a=b或 AB→=CD→ 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 空间向量 的运算 加法 OB→=OA→+AB→=a +b 减法 CA→=OA→-OC→=a-b 加法 运算律 (1)交换律:a+b= ; (2)结合律:(a+b)+c= 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样,实数λ 与空间向量a 的乘积 仍然是一个 ,称为向量的数 乘运算 几何 意义 λ>0λa与向量a的方向 λ<0λa与向量a的方向 λ=0 λa=0,其方向是任意的 λa的长度是a 的 长 度 的 倍 运算律 分配律 λ(a+b)= 结合律 λ(μa)= 共线、共面定理 共线(平行)向量 共面向量 定义 如果 表 示 若 干 空 间 向 量的 有 向 线 段 所 在 的 直线 , 那 么 这 些 向 量 叫 做 或平行向量 平行于 的向量, 叫做共面向量 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 001 续表 共线(平行)向量 共面向量 充要 条件 对于 空 间 任 意 两 个 向 量a,b(b ≠0),a ∥b 的充 要 条 件 是 存 在 实 数λ,使 若两个向量a,b 不 共 线,则向量p 与向量a, b共面的充要条件是存 在唯 一 的 有 序 实 数 对 (x,y),使 1.向量可以用有向线段表示,那么有向线段是 向量吗? 2.你能说出平面向量与空间向量的区别与联 系吗? 3.类比平面向量,空间向量的数乘运算满足 (λ+μ)a=λa+μa(λ,μ∈R),对吗? 4.若对任意一点O 和不共线的三点A,B,C,且 OP→=xOA → +yOB → +zOC →,则x+y+z=1是 四点 P,A,B,C 共 面 的 充 要 条 件 吗? 为 什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 空间向量的有关概念 [例1] (1)下列说法中正确的是 ( ) A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向 相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|= |b| C.空间向量的减法满足结合律 D.在 四 边 形 ABCD 中,一 定 有AB→ + AD→=AC → (2)(多选题)下列命题中,是真命题的为 ( ) A.若两个空间向量相等,则它们的起点相 同,终点也相同 B.若空间向量a,b 满足|a|=|b|,则 a=±b C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则 m=p D.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有 AC→=A1C1 → 学生试答: 　　 理解空间向量相关概念的注意点 (1)单位向量、零向量都只规定了向量的模而没 有规定方向.需注意单位向量有无数