3.1.1 椭圆及其标准方程(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 [课标解读]1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程.2.会根据条件确定椭圆的标准方程，能用待定系 数法求椭圆的标准方程. [素养目标]水平一:椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程.(数学运算) 水平二:椭圆标准方程的推导.(数学运算、数据分析) 椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做 椭圆的 , 叫做椭圆的焦距. 椭圆的标准方程 焦点位置 在x 轴上 在y 轴上 标准方程 x2 a2 + y2 b2 = 1 ( ) y2 a2 + x2 b2 = 1 ( ) 图形 焦点坐标 a,b,c的关系 1.定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于| F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件 不变,点的轨迹是什么? 2.如何理解“标准方程”中的“标准”的意义? 3.在椭圆标准方程的推导过程中,为什么令b2= a2-c2,b>0? 4.对于一个椭圆的标准方程,怎样判断其焦点 所在的坐标轴呢? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 椭圆的定义及其应用 [例1] (1)设F1(-4,0),F2(4,0)为定 点,动点M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M 的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 (2)点P 为椭圆x 2 25+ y2 16=1 上一点,M,N 分别是圆(x+3)2+y2=4和(x-3)2+y2=1 上的动点,则 |PM |+|PN | 的 取 值 范 围 是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 082 第三章　圆锥曲线的方程　　　　　　　 学生试答: 　　 一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利 用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题 转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的 问题. 变式训练1 (1)已知△ABC的顶点B,C 在椭圆x 2 3+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦 点,且椭圆的另外一个焦 点 在 BC 边 上,则 △ABC 的周长是 ( ) A.23 B.6 C.43 D.12 (2)设F1,F2 为椭圆y 2 9+ x2 4=1 的两个焦 点,P 为椭圆上任一点,已知P,F1,F2是一个直 角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则 |PF1| |PF2| 的值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 椭圆标准方程的识别 [例2] 已知方程 x 2 m+9+ y2 25-m = 1. (1)若上述方程表示焦点在x 轴上的椭圆, 求实数m 的取值范围; (2)若上述方程表示焦点在y 轴上的椭圆, 求实数m 的取值范围; (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭 圆,求实数m 的取值范围. 学生试答: 　　 椭圆标准方程的两种应用 　　 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参 数的值(或取值范围). (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方 程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2 的值和焦 点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c， 即可写出焦点坐标. 　　(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注 意：对于方程x 2 m ＋y 2 n ＝1，当m>n>0时，方程表 示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示 焦点在y轴上的椭圆.特别地，当n＝m>0时，方程 表示圆心在原点的圆.若已知方程不是标准方程，需 先进行转化. 变式训练2 (1)如果方程x 2 a2+ y2 a+6= 1 表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范 围是 ( ) A.a>3 B.a<-2 C.a>3或a<-2 D.a>3或-6<a<-2 (2)已知曲线C:x 2 k-5+ y2 3-k=- 1,则 “4≤k<5”是“曲线C 表示焦点在y轴上的椭 圆”的 条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋