2.4.2 圆的一般方程(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

第二章　直线和圆的方程　　　　　　　 2.4.2 圆的一般方程 [课标解读]1.理解二元二次方程表示圆的条件，会根据圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径.2.会根据所给条件求 圆的一般方程.3.能解决简单的轨迹问题． [素养目标]水平一:求圆的一般方程．(数学运算) 水平二:求动点的轨迹方程．(直观想象、逻辑推理) 圆的一般方程 对于二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+ F=0, 配 方 得 到 x+ D 2 2 + y+ E 2 2 = D2+E2-4F 4 . (1)当D2+E2-4F >0时,方程表示以 为圆心, 为半径的圆; (2)当D2+E2-4F =0时,方程表示点 ; (3)当D2+E2-4F <0时,方程不表示 . 当D2+E2-4F >0时,方程x2+y2+ Dx+Ey+F=0表示一个圆,称为圆的一般方程. 动点的轨迹方程 在直角坐标平面上,一个动点按照某种规 律运 动,所 形 成 的 曲 线 称 为 这 个 动 点 的 ,曲线的方程称为动点的 . 求轨迹方程的一般步骤: (1)建系:建立适当的平面直角坐标系; (2)设点:设出动点M 的坐标,并标明限制范围; (3)列式:列出关于未知量的方程; (4)化简:化方程为最简形式; (5)证明:证明以化简后方程的解为坐标的 点都是曲线上的点. 说明:因为除个别情况外,化简过程都是同 解变形过程,所以步骤(5)可以省略不写,如果 有特殊情况,可适当予以说明. 1.形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次 方程都表示圆吗? 2.圆的标准方程和一般方程各有什么特点? 二 者怎样互化? 3.已知P(x0,y0),圆的方程x2+y2+Dx + Ey+F=0,如果x20+y20+Dx0+Ey0+F< 0,那么点P 一定在圆内吗? 4.轨迹和轨迹方程等价吗? 二者的联系是 什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 圆的一般方程的概念 ● 命题视角1:二元二次方程表示的曲线与圆的 关系 [例1] 下列方程是否表示圆,若表示圆, 写出圆心坐标和半径. (1)2x2+y2-7y+5=0; (2)x2-xy+y2+6x+7y=0; (3)x2+y2+x+2=0; (4)x2+y2-x=0; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 065 (5)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0). 学生试答: ● 命题视角2:确定圆的条件(求参数的取值 范围) [例2] (1)若方程a2x2 +(a+2)y2 + 2ax+a=0表示圆,则a的值为 ( ) A.1或-2 B.2或-1 C.-1 D.2 (2)若方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a- 1=0表示圆,则a的取值范围是 . 学生试答: 　　 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方 程，判定其是否表示圆时有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，D2＋E2－4F >0 成立则表示圆，否则不表示圆； (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求 解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋ y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要 化为这种形式再求解. 变式训练1 (1)m 是什么实数时,关于 x,y 的方程(2m2 +m -1)x2 + (m2 -m + 2)y2+m+2=0表示一个圆? (2)已知点O(0,0)在圆x2+y2+kx + 2ky+2k2+k-1=0外,求k的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求圆的一般方程 [例3] 已知 △ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆P 的方程. 学生试答: 　　 不论是圆的标准方程还是一般方程，都必须具 备三个独立条件才能确定一个圆，在选择标准方程 或一般方程时,如果由已知条件容易知圆心坐标、半 径或可用圆心、半径列方程，通常设圆的标准方 程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关 系，通常选择一般方程.利用圆的几何性质及数形结 合思想易于