2.4.1 圆的标准方程(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 [课标解读]1.明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程.2.会求圆的标准方程，能够判断点与圆的位置 关系. [素养目标]水平一:求圆的标准方程.(数学运算) 水平二:圆的标准方程及应用.(数学建模) 圆的标准方程 1.圆的定义 (1)圆是平面内到定点的距离等于定长的 点的 . (2)定点是 ,定长是 . 2.圆的标准方程 (1)圆心为A(a,b),半径长为r 的圆的标 准方程为 . (2)圆心在原点,半径长为r的圆的标准方 程为 . 点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系 点A 与圆O 有三种位置关系:点在圆外(图 ①),点在圆上(图 ②),点在圆内(图 ③). 2.判断点与圆的位置关系的方法 圆的标准方程为(x -a)2 + (y -b)2 = r2(r>0),圆心C(a,b),半径为r.设所给点为 M(x0,y0),则 位置关系 判定方法 几何法 代数法 点在圆上 |MC|=r⇔ 点 M 在圆C 上 点 M(x0,y0) 在 圆 上 ⇔(x0-a)2+(y0-b)2= r2 续表 点在圆内 |MC|<r⇔ 点 M 在圆C 内 点 M(x0,y0) 在 圆 内 ⇔(x0 - a)2 + (y0 - b)2 <r2 点在圆外 |MC|>r⇔ 点 M 在圆C 外 点 M(x0,y0) 在 圆 外 ⇔(x0 - a)2 + (y0 - b)2 >r2 1.若圆的标准方程为(x +m)2+(y+n)2= a2(a≠0),此圆的半径一定是a 吗? 圆心坐 标是(m,n)吗? 2.判断点和圆的位置关系的依据是什么? 3.点M1(6,-6),M2(-5,-1),M3(3,1)与圆 (x-2)2+(y+3)2=25的位置关系如何? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 062 第二章　直线和圆的方程　　　　　　　 求圆的标准方程 [例1] 求下列各圆的标准方程: (1)圆心在直线y=0上,且过两点A(1,4), B(3,2)的圆; (2)圆心在直线2x+y=0上,且与直线x+ y-1=0相切于点M(2,-1)的圆. 学生试答: 　　 求圆的标准方程的常用方法 　　 求圆的标准方程的常用方法包括几何性质法和 待定系数法. (1)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长，用 几何性质法可以简化运算.常用到圆的以下几何性 质：① 圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；② 圆内 的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. 　　(2)由于圆的标准方程中含有三个参数a，b， r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才 能确定圆的方程.这三个参数反映了圆的几何性质， 其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径长r是圆的 定形条件. 变式训练1 (1)若圆C 与圆(x+2)2+ (y-1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是 ( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x+1)2+(y-2)2=1 (2)经过点A(-4,-5),B(6,-1),且以线 段AB 为直径的圆的标准方程为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 点与圆的位置关系 [例2] 若圆C 的圆心坐标为(2,-3),且 圆C 经过点M(5,-7),求其标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系. 学生试答: 　　 判断点与圆的位置关系的方法 (1)从形的角度，比较圆的半径与圆心到定点的 距离的大小，从而作出判断. (2)从数的角度，将定点的坐标代入圆的标准方 程的左边，再与右边的值比较，从而作出判断. 变式训练2 写出圆心为(3,4),半径为5 的圆的方程,并判定点A(0,0),B(1,3)与该圆 的位置关系. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋