2.1.1 倾斜角与斜率(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 [课标解读]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系.2.掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其 简单的应用. [素养目标]水平一:倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答有关问题.(数学运算) 水平二:倾斜角与斜率的定义及它们之间关系的理解.(数学抽象) 直线的倾斜角 1.当直线l与x 轴相交时,我们以x 轴为基 准,x轴 与直线l 之间所成的 角α叫做直线l的 .特别地,当直线l与 x 轴 平 行 或 重 合 时,规 定 它 的 倾 斜 角 为 .因此,直线的倾斜角α 的取值范围 为 . 2. 表示平面直角坐标系内一条直 线的倾斜程度. 3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的 几 何 要 素: 直 线 上 的 以 及 它 的 . 直线的斜率 1.定义:倾斜角不是 的直线,它的 倾斜角α 的 叫做这条直线的斜率,记 为k,即k= . 2.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α=0° 0°<α <90° α= 90°<α <180° 斜率 (范围) 不存在 过两点的直线的斜率公式 经 过 两 点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1 ≠ x2)的直线的斜率公式为k= y2-y1 x2-x1 . 1.每一条直线都有唯一的倾斜角吗? 2.直线的倾斜角越大,直线的斜率也越大,这句 话对吗? 3.过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线一定有 斜率吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 040 第二章　直线和圆的方程　　　　　　　 直线的倾斜角 [例1] (多选题)下列说法中,正确的是 ( ) A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为 tan α B.一条直线的倾斜角为-30° C.若直线的倾斜角为α,则sin α≥0 D.任意直线都有倾斜角α,且α≠90°时,斜 率为tan α 学生试答: 　　 根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画 出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x 轴的 正向的夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况 讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有 0°角、锐角、直角和钝角四类. 变式训练1 (1)若直线l的向上方向与y 轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为 ( ) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° (2)设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线 l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线 l1,则直线l1 的倾斜角为 ( ) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤ α<180°时为α-135° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线的斜率 ● 命题视角1:直线斜率的定义 [例2] 已知直线l1与l2向上的方向所成 的角为100°,若l1 的倾斜角为20°,求直线l2 的 斜率. 学生试答: 　　 直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况： (1)当0°≤α <90°时， 随α 的增大，k 在 [0，＋∞)范围内增大； (2)当90°<α <180°时，随α 的增大，k 在 (－∞，0)范围内增大. 变式训练2 直线l过点(0,3)且垂直于y 轴,它的倾斜角和斜率是 ( ) A.90°,不存在 B.180°,0 C.90°,1 D.0°,0 ● 命题视角2:直线的斜率公式 [例3] 已知某直线l的倾斜角α=45°,又 P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是此直线上的三 点,求x2,y1 的值. 学生试答: 　　只有倾斜角不是90°的直线才有斜率，因此运用 斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋