1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 1.已知两直线的方向向量为a,b,则下列选项中 能使两直线垂直的为 ( ) A.a=(1,0,0),b=(-3,0,0) B.a=(0,1,0),b=(1,0,1) C.a=(0,1,-1),b=(0,-1,1) D.a=(1,0,0),b=(-1,0,0) 2.设直线l的一个方向向量为a=1, 1 3 ,- 3 2 , 平面α 的法向量为n= 3 2 ,1 2 ,- 9 4 ,则 ( ) A.l∥α B.l⊥α C.l与α 斜交 D.无法判定 3.平面α的一个法向量为m=(1,2,0),平面β的 一个法向量为n=(2,-1,0),则平面α 与平 面β 的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 4.在 三 棱 锥 S-ABC 中,∠SAB = ∠SAC = ∠ACB=90°,AC=2,BC= 13,SB= 29, 则直线SC 与BC .(填“垂直”或“不 垂直”) 5.如图所示,已知PA ⊥ 矩形ABCD 所在的平 面,M,N 分别是AB,PC 的中点. (1)指出直线MN 的一个以A 为起点的方向 向量; (2)若 ∠PDA=45°,求证:MN → 为平面PCD 的一个法向量. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 　 用空间向量研究距离问题 [课标解读]能利用投影向量得到点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离公式，结合一 些具体的距离问题的解决. [素养目标]水平一:利用投影向量推导点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离公式. (数学运算、直观想象) 水平二:利用投影向量统一研究空间距离问题.(逻辑推理、数学运算) 用向量法求点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为 u,A 是直线l上的定点,P 是直线 l外一点.设AP→=a,则向量AP → 在直线l上的投影向量AQ→=(a·u)u.则点P 到 直线l的距离d= |AP → |2-|AQ → |2 = a2-(a·u)2. 用向量法求平行直线间的距离 两条平行线之间的距离可以转化为其中一 条直线上的任意一点到另一条直线的距离.所 以两平行线间的距离可以继续用点到直线的距 离公式解决. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 025 用向量法求点到平面的距离 设平面α的法向量为n,A是 平面α 内的定点,P 是平面α 外 一点.过点P 作平面α 的垂线l, 交平面α于点Q,则n是直线l的 方向向量,且点P 到平面α的距离就是AP→在直 线l上的投影向量QP→ 的长度.则点 P 到平面α 的距离为|QP → |= AP →· n |n| = AP→·n |n| = |AP →·n| |n| . 用向量法求直线到平面的距离 直线到平面的距离前提:直线与平面平行, 则直线上任意一点到平面的距离都相等,所以 直线到平面的距离可以转化为直线上任意一点 到平面的距离.故直线到平面的距离实质上是 点到平面的距离,可以继续用点到平面的距离 公式来解决. 用向量法求平面到平面的距离 平面到平面的距离前提:平面与平面平行, 则平面上任意一点到另一平面的距离都相等, 所以平面到平面的距离可以转化为平面上任意 一点到另一平面的距离.故平面到平面的距离 实质上就是点到平面的距离,可以继续用点到 平面的距离公式来解决. 1.设n是平面α的法向量,A 是α内一点,B 是α 外一点,则点B 到平面α 的距离d 为多少? 2.若直线l与平面α 平行,则直线l上任意一点 与平面α内任意一点间的距离就是直线l与平 面α 的距离,是否正确? 3.这些空间中的距离问题可以归类吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 点到直线的距离 [例1] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中, 求点B 到直线AC1 的距离. 学生试答: 　　 利用向量法求点到直线的距离的两种思路 (1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模