1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 　 空间中点、直线和平面的向量表示 及空间中直线、平面的平行 [课标解读]1.理解直线的方向向量和平面的法向量；线面的位置关系与向量的联系.2.能用向量语言表述线线、线 面、面面的平行关系. [素养目标]水平一:利用向量的方法解决线线、线面、面面的平行关系.(数学建模) 水平二:利用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面平行.(数学建模、逻辑推理) 空间中点、直线、平面的向量表示 1.点的位置向量 如图①,在空间中,我们取一定点O 作为基 点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP→来 表示.我们把向量OP→称为 . 2.直线的方向向量 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一 个定点A 以及一个定方向确定.如图②,点A 是 直线l上一点,向量a表示直线l的方向向量.在 直线l上取AB→=a,那么对于直线l上任意一点 P,一定存在实数t,使得AP→=tAB →. 这样,点A 和向量a不仅可以确定直线l的 位置,还可以具体表示出l上的任意一点. 3.空间平面的向量表示 空间中平面α 的位置可以由α 内两条相交 直线来确定.如图 ③,设这两条直线相交于点 O,它们的方向向量分别为a和b,P 为平面α内 任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一 的有序实数对(x,y),使得 . 这样,点O 与向量a,b不仅可以确定平面α 的位置,还可以具体表示出α 内的任意一点. 平面的法向量 1.平面法向量的定义 如图所示,直线l⊥α,取直线l的方向向量 a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一点A 和一个向量a,那么过点A,且以向量a 为法向 量的平面是完全确定的. 2.平面法向量的性质 (1)平面α 的法向量与α 内任一向量垂直. (2)平面的法向量有无穷多个,它们相互 平行. 空间平行关系的向量表示 1.线线平行 设直线l,m 的方向向量分别为a=(a1,b1, c1),b= (a2,b2,c2),则l∥m⇔a∥b⇔ ⇔a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R). 2.线面平行 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平 面α的法向量为u=(a2,b2,c2),则l∥α⇔a⊥ u⇔ =0⇔ . 3.面面平行 设平面α,β 的法向量分别为u=(a1,b1, c1),v=(a2,b2,c2),则α∥β⇔ ⇔u= λv⇔a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R). 1.如何确定直线的方向向量? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 019 2.零向量可以是直线的方向向量或平面的法向 量吗? 3.如何求平面的法向量? 平面的法向量唯 一吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 直线的方向向量和平面的法向量 [例1] (1)如图所示,四 棱 锥 P-ABCD 中, 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形,O 是 AC 与BD 的交点,M 是PC的 中点,在DM 上取一点G,过点G 和AP 作平面 交平面BDM 于GH. 求证:AP→是直线GH 的方向向量. (2)已知平面α 经过三点A(1,2,3),B(2, 0,-1),C(3,-2,0),试求平面α 的一个法 向量. 学生试答: 　　1.直线的方向向量的求法 求直线AB 的方向向量，就是找与AB→ 平行的任 意非零向量，因此可以在直线AB 上任取不同的两 点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB 的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取 不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也 是直线AB 的方向向量. 2.平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法： (1)直接寻找：几何体中已经给出有向线段，只 需证明线面垂直即可.(2)待定系数法：当几何体中 没有具体的直线可作为法向量时，根据已知平面内 两条相交直线的方向向量，可以运用待定系数法求 解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标 系)，具体步骤如下： ① 选向量：求平面的法向量时，要选取平面内 两相交直线的方向向量AC→，AB→; 　　② 设坐标：设平面法向量的坐标为n＝ (x， y，z); ③ 解方程组： 联