1.3.2 空间向量运算的坐标表示(讲义)-【红对勾讲与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版)

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 [课标解读]1.掌握空间向量的坐标运算.2.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直.3.掌握向量长度，两向 量夹角和两点间距离公式． [素养目标]水平一:利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题．(数学建模) 水平二:立体几何问题坐标化、代数化．(直观想象) 空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的 . 2.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).则有 向量运算 坐标表示 加法 a+b= 减法 a-b= 数乘 λa= 数量积 a·b= 空间向量的相关结论 1.空间向量的平行、垂直及模和夹角 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a=λb(b≠0) a1=λb1,a2=λb2, a3=λb3(λ∈R) a⊥b a·b=0 模 |a|= a·a |a|= a21+a22+a23 夹角 cos<a,b>= a·b |a||b| cos<a,b>= a1b1+a2b2+a3b3 a21+a22+a23 b21+b22+b23 2.空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2). (1)P1P2 → = ; (2)P1P2=|P1P2 → |= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2. 1.如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的 坐标运算间的关系? 2.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则 a1 b1= a2 b2= a3 b3 对吗? 3.空间向量的夹角与距离公式与平面向量的夹 角与距离公式有什么不同? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 空间向量的坐标运算 [例1] 已知点A(-2,3,-3),B(4,5,9). (1)设平面α 经过线段AB 的中点,且与直 线AB 垂直,M(x,y,z)是平面α 内任意一点, 求x,y,z满足的关系式; (2)求到A,B 两点距离相等的点P(x,y, z)的坐标x,y,z满足的关系式; (3)比较(1)(2)的结论,你发现了什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 016 第一章　空间向量与立体几何　　　　　　　 学生试答: 　　 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧,利用向 量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的 法则，同时掌握下列技巧. (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋ b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋ b)＝(a＋b)2 等. (2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运 算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如 计算(2a)·(－b)， 既可以利用运算律把它化成 －2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求数量积；计算 (a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数 量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2 后计算. 变式训练1 (1)已知空间四点A,B,C, D 的坐标分别是(-1,2,1),(1,3,4),(0,-1, 4),(2,-1,-2),设p=AB →,q=CD →. 求:①p+2q;②3p-q;③(p-q)·(p+q). (2)已知O 是坐标原点,且A,B,C 三点的 坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3), 求适合下列条件的点P 的坐标: ①OP→= 1 2 (AB→-AC →); ②AP→= 1 2 (AB→-AC →). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 空间向量平行和垂直的坐标表示 [例2] 已 知 空 间 三 点 A(-2,0,2), B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB →,b=AC →. (1)若|c|=3,c∥BC →,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k. 学生试答: 　　1.