21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（教学设计）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.2.4 一元二次方程根与系数的关系第1课时，内容包括：掌握一元二次方程根与系数的关系。 2.内容解析 一元二次方程根与系数的关系在教材中为选学内容，是继学生学习一元二次方程的解法和根的判别式后引入的。一元二次方程根与系数的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，既可以解决一元二次方程快速 验根问题，还可以解决求代数式的值等问题。考查一元二次方程根与系数的关系，多以选择、填空、解答题的形式出现，它常与几何、二次函数等问题相结合，以大题的形式出现。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握一元二次方程根与系数的关系。 二、目标和目标解析 1.目标 1.掌握一元二次方程根与系数的关系。 2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。 3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊-一般-特殊的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神。 2.目标解析 本节课是在学生学习一元二次方程和根的判别式的基础上，进一步通过推导的方法得出一元二次方程根与系数的关系。一元二次方程根与系数的关系在教材中虽为选学内容，但它是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，它常与几何、二次函数等问题相结合，以大题的形式出现。 一元二次方程根与系数的关系在中考中不作为重要考查点，但在平时的测试及同步练习中经常会涉及，甚至说出现的题目还有一定的难度。需要学生灵活使用一元二次方程根与系数的关系进行求解，将题目中的已知内容转化为两根的和与积的形式，再将韦达定理代入求解。 通过探索一元二次方程根与系数关系的推导过程，使学生理解韦达定理，体验数学活动充满着探索性和创造性，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。 达成1）目标的标志是：熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。 达成2）目标的标志是：利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。 达成3）目标的标志是：根据已学知识推导一元二次方程根与系数的关系。 三、教学问题诊断分析 韦达定理在高中数学有非常重要的作用，特别在解析几何中研究直线和曲线的位置关系时，对于减少运算量，整体解决问题具有独特的作用。一元二次方程根与系数的关系在教材中为选学内容，教师重视不够。学生学习肤浅，造成学生对一元二次方程知识的欠缺，当学生升入高中后，对学习解析几何造成困难。通过本节课的教学，让学生掌握韦达定理及其简单的应用。会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。 四、教学过程设计 （一）复习旧知，引入新课 【提问】 1. 一元二次方程的一般形式？ 2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？ 3. 一元二次方程的求根公式是什么？ 师生活动：学生积极回答问题，教师给出正确答案。 【设计意图】先回顾解一元二次方程的相关知识，为本节课学生学习一元二次方程根与系数关系做好铺垫。 （二）探究新知 【问题】解下列方程并完成填空： (1)=0 (2)2−2=0 (3)22+3-2=0 师：尝试选用合适的方法求解一元二次方程，并完成填空。 师生活动：学生通过计算给出答案。 【小组讨论】观察方程的系数与两根的和与积有什么联系？ 师生活动：通过刚才的计算结果，以小组为单位进行讨论，并给出猜想内容。本环节允许学生有不同的观点，教师负责记录学生的猜想内容。 【问题】从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 师生活动：先由学生思考，再由教师给出答案。 师：将方程(x－x1)(x－x2)＝0化为x2＋p x ＋q＝0的形式为：x2-(x1+x2)x+x1x2=0 由此可得：x1，x2与p，q之间的关系为：x1+x2= -p x1x2= q 【设计意图】通过求解一元二次方程的过程，锻炼学生选择合适方法解一元二次方程的能力。再通过小组讨论环节，引导学生通过观察，得出一元二次方程根与系数关系的猜想。教师通过适当引导，培养学生解决问题的能力，激发学生的主动性和求知欲。 【问题】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 师：尝试利用求根公式探索一元二次方程根与系数的关系？ 师生活动：教师通过多媒体展示具体推导过程。具体过程如下： 根据 x1+x2= + = x1x2 = × = = 即： x1+x