第34讲 直线、平面平行的判定与性质（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第34讲 直线、平面平行的判定与性质 1.直线、平面平行的判定与性质 定理 文字语言 符号语言 图形语言 作用 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 a⊄α,b⊂α, 且a∥b⇒a∥α 证明直线与平面平行 直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行 a∥α,a⊂β, α∩β=b⇒a∥b 证明或判断两条直线平行 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 a⊂β,b⊂β,a∩b=P, a∥α,b∥α⇒β∥α 证明两个平面平行 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行 α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b⇒a∥b 证明或判断两条直线平行 2.与垂直相关的平行的判定 (1) (2)． 3.线线、线面、面面平行的转化示意图 4.常用结论 (1)中位线定理：在中，分别是的中点，则； (2)平行四边形常见证明方法：一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对边对应相等；两组对边对应互相平行. 考点一 证明线线平行 考点二 证明线面平行 考点三 证明面面平行 考点一：证明线线平行 例1．如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点.求证：； 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质可得平面，再由线面平行的性质即可证结论. 【详解】由长方体的性质知：平面平面，又面， 面，又平面平面，且面， . 考点二：证明线面平行 例2．在长方体中，矩形和矩形的中心分别为M、N．求证：平面ABCD． 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行的判定定理证明，证明后可得． 【详解】证明：如图，连接、、AC、MN． ∵矩形和矩形的中心分别为M、N， ∴，，∴． 又平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD． 考点三：证明面面平行 例3．如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 【答案】证明见解析 【分析】证明，进而证明出平面BCHG，再证明，得到平面BCHG，从而证明面面平行. 【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG． ∵，且 ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG． ∵， ∴平面平面BCHG． 一、解答题 1．如图，正方体中，分别为的中点，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】如图取中点，连接，，，由平行四边形的判定定理可证四边形、为平行四边形，则，，利用线面平行的判定定理可得平面，平面，结合面面平行的判定定理即可证明. 【详解】 取中点，连接，，， ∵为正方体，，分别为，中点， ∴，，，， ∴四边形、为平行四边形，则，， ∵平面，平面，平面，平面， ∴平面，平面， ∵平面，平面，， ∴平面平面. 2．已知四棱锥的底面ABCD为矩形，底面ABCD，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图． (1)求证：平面PBD； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用中位线得到的线线平行，证明线面平行，再证面面平行，由面面平行得证线面平行； 【详解】（1）证明：∵E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，∴，， ∵平面PBD，平面PBD，∴平面PBD，同理可证平面PBD， ∵，EF、平面EFG，∴平面平面PBD， ∵平面EFG，∴平面PBD． 3．如图，已知正方体的棱长为分别是的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用正方体的性质及线面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即得； （2）利用线面平行的判定定理即得. 【详解】（1）由正方体的性质可得， ∴四边形为平行四边形， ∴，平面，平面， ∴平面， 同理可得平面，又平面， ∴平面平面； （2）因为分别是的中点， 所以，又， ∴，又平面，平面， ∴平面. 4．如图，三棱柱中，，，，点M，F分别为BC，的中点，点E为AM的中点． (2)证明：平面； 【答案】(2)证明见解析 【分析】（2）利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理即可求解. 【详解】 （2）取BM中点为G，连接EG、, 则，所以， 又， 所以四边形为平行四边形，所以， 而在平面内，EF在平面外， 故平面. 5．（山东省聊城市2023届高三二模数学试题）如图，平面平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，且，点G在线段上． (1)若点G为线段的中点，求证：平面； 【答案】(1)证明见解