专题11 二次函数中的角度问题-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题11 二次函数中的角度问题 （2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； （3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴，抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）解：存在， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ①当点在点上方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2， 设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴或； ②当点在点下方时：设与轴交于点， 则：， 设， 则：，， ∴，解得：， ∴， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【点拨】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题． （2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在直线下方运动，且满足时，求点的坐标； (3)设的面积为，当为某值时，满足条件的点有且只有三个，不妨设为，，，求的面积． 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）作关于轴的对称点，连接，根据，关于轴对称，则，结合已知条件得出'，得出，求得直线的解析式为，直线解析式为，联立抛物线解析式，进而即可求解． （3）过点作轴交直线于点，过作轴交于，求得直线解析式为，设，则，当在下方时，，此时，当在上方时，，得出，进而求得直线解析式为，得出，则，进而根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）作关于轴的对称点，连接，如图：    在中，令得， ， ，关于轴对称， ，， ， '， ， 由，， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为， 设直线解析式为，把，代入得： ， 直线解析式为， 联立得： 或， 的坐标为； （3）过点作轴交直线于点，过作轴交于，如图：    由，，， 设直线的解析式为， 则 解得： 直线解析式为 设，则 当在下方时，， ， ， 当时，取最大值， 此时； 当在上方时， ， 解得或 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线解析式为， 在，令得， ， ， 的面积为， 【点拨】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，面积问题，扎实的计算是解题的关键． （2023·山西阳泉·统考一模）综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接为抛物线上的一个动点（与点不重合），设点的横坐标为，的面积为． (1)求二次函数的表达式； (2)当点在第二象限内时，求关于的函数表达式； (3)抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法将坐标代入解析式即可； （2）过点作轴于点，则；分别用的代数式表示出相应线段的长度，利用梯形，三角形的面积公式计算即可得出结论； （3）分两种情况讨论解答：当点在上方时，利用平行线的判定与性质可得点，的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；当点在下方时，设交轴于点，设，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得值，则点坐标可求；利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于、两点， ， ， 二次函数的表达式为数； （2）解：过点作轴于点，如图， 则， 令，则， ， ， ， ， 点的横坐标为， ， 点在第二象限内， ，， ， ， ， 关于的函数表达式为：； （3）解：①当点在上方时，如图， ， ， 点，的纵坐标相等， 点的纵坐标为， 令，则， 解得：或， ； 当点在下方时，如图， 设交轴于点， ， ， 设， ， 在中， ， ， 解得：， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ， 综上所述，点的坐标为