专题10 二次函数中的面积问题-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

专题10 二次函数中的面积问题 （2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法： ①： ②抛物线的对称轴为； ③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，； ④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，的面积最大． 其中，所有正确的说法是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】利用待定系数法即可求得，即可判断①；求得A、B的坐标，利用抛物线的对称性求得对称轴，即可判断②；利用抛物线的对称性、两点之间线段最短，点P为直线与抛物线对称轴的交点时，点P，B，C构成的三角形的周长取最小值，求得直线的解析式，进一步求得n的值，即可判断③；作轴，交与点Q，表示出Q点的坐标，然后根据得出，根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得，故①说法正确； 令，则， 解得或1， ∴抛物线抛物线与x轴的交点为，， ∴抛物线的对称轴为，故②说法正确； 连接，交对称轴为P，此时，， ∵是定值， ∴此时点P，B，C构成的三角形的周长最小， ∵，， ∴直线为， 当时，， ∴， ∴n=2，故③说法错误； 作轴，交与点Q， ∵点在抛物线上， ∴， 把代入直线的解析式得， ∴， ∴， ∴时，的面积最大，故④说法正确． 综上，正确的有①②④． 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，根据题意求得A、B的坐标和对称轴是解题的关键． （2023·山东青岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，然后再求出所在直线的解析式，设，根据，求出D点坐标，再利用割补法即可求出四边形的面积． 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点； ，，； 容易求出所在直线的解析式为； 设， ， ； ； ；，； ； 故答案为． 【点拨】本题考查了二次函数综合问题，涉及到了求二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式以及利用割补法求不规则图形的面积，熟练掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 如图，在平面直角坐标系中，点，，在第一象限内取一点C，使得，且，抛物线的图象过点C． （1）该抛物线的表达式为：______； （2）当该抛物线的对称轴直线l平移至直线后，恰好将的面积分成相等的两部分，m的值为______． 【答案】； 【分析】（1）首先构造全等三角形，求出点C的坐标，然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式； （2）首先求出直线与的解析式，设直线l与、交于点E、F，则可求出的表达式，根据，列出方程求出直线l的解析式． 【详解】解：（1）过点C作轴于点D，如图所示： 则， ∵，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 故答案为：； （2）在中，，，由勾股定理得：， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ， :解得：， ∴， 同理求得直线的解析式为：， 设直线l与、分别交于点E、F， 则， 中，边上的高， 由题意得：， 即：， ∴， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， ∴当直线l解析式为时，恰好将的面积分为相等的两部分． 故答案为：． 【点拨】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度一般，但需要仔细分析，认真计算． （2023·黑龙江·统考模拟）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，若直线平分的面积，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）先根据对称性求出与x轴的另一个交点，再根据交点式可直接出结果； （2）由直线平分的面积推出直线经过的中点，求出这个中点，从而求出直线的解析式，将直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：点关于直线的对称点是，点在抛物线上， ∴的两根是， 又∵二次项系数， ∴由交点式可得抛物线的解析式为：，即； （2）点的坐标：，． 补充求解过程如下： 令得： ∴ ∵直线平分的面积， ∴直线经过的中点，设为点D， ∵， ∴    设直线的解析式为， 将点D代入得： 解得：， ∴直线的解析式为． 将直线的解析式与抛物线的解析式联立得： 将①代入②得： 解得：， 当时，， 当时，， ∴直线与抛物线的公共点即点的坐标：， 【点拨】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，直线与二次函数的