(练习)22 课时分层训练(十六) 均值不等式及其应用(第1课时)-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

课时分层训练(十六)　均值不等式及其应用(第1课时) 知识点1　均值不等式 1．(多选题)给出下列条件，其中能使＋≥2成立的为(　ACD　) A．ab>0　　　　 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 2．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　) A．1≤ab≤ B．ab<1< C．ab<<1 D．<ab<1 B　∵ab≤，a≠b，∴ab<1， 又>＝1， ∴>1，∴ab<1<. 3．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中，不一定成立的是(　　) A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4 C．≥a＋b D．≥ D　A项，a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b时取等号，正确； B项，(a＋b)·≥2·2＝4，当且仅当a＝b时取等号，正确； C项，＝≥＝≥＝a＋b，当且仅当a＝b时取等号，正确．故选D. 4．已知a＞b＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A.＜＜ B.≥≥ C.＞＞ D.＜＜ C　＜＝＜. 知识点2　利用均值不等式证明不等式 5．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9. 证明：∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9， 即＋＋≥9(当且仅当a＝b＝c时取等号)． 知识点3　利用均值不等式求最值 6．若x>0，y>0，且x＋y＝，则xy的最大值为(　　) A． B．2 C． D． D　由x＋y≥2得xy≤＝. 当且仅当x＝y＝时，等号成立． ∴xy的最大值为. 7．y＝x＋－1的取值范围是(　　) A．(－∞，－3]∪[5，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，－5]∪[3，＋∞) D．(－∞，－4]∪[4，＋∞) C　当x>0时，y＝x＋－1≥2－1＝3，当且仅当x＝2时，取等号． 当x<0时，y＝x＋－1＝－－1≤－2·－1＝－5，当且仅当x＝－2时，取等号．∴y∈(－∞，－5]∪[3，＋∞)． 8．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 B　(1＋x)(1＋y)≤ ＝＝＝25， 因此，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25，故选B. 9．若x＞0，y＞0，且x＋y＝4，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A.＞4 B．＋≥1 C.≥2 D．≥1 B　∵x＞0，y＞0，且x＋y＝4， ∴＝，故A错误． ≤＝2，故C错误． ∵xy≤＝4， ∴≥，故D错误． ＋＝＋＝＋＋＋≥＋2＝＋＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故选B. 10．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为(　　) A．6 B．9 C．12 D．15 B　(x＋y)＝x·＋＋＋y·＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝时，等号成立． 11．y＝＋的最小值为________． 4　y＝＋≥2＝4. 当且仅当＝，即x＝4时，取等号． ∴y＝＋的最小值是4. 12．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为________． 20　x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号. 13．(多选题)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是(　　) A.≥8　　　 B．＋≥4 C.≥ D．≤2 BD　∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4.故A，C不正确．对于B，∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．对于D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2.故D正确．故选BD. 14．(多选题)对于任意x>1，若≥a恒成立，则能使结论成立的实数a的取值可以是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 AB　∵x>1，∴＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，所以a≤6.故选AB. 15．设M＝，且a＋b＋c＝1，其中a，b，c均为正实数，则M的取值范围是(　　) A． B． C．[1，8) D．[8，＋∞) D　∵M＝· ＝≥2·2·2＝8， ∴M∈[8，＋∞)．当且仅当a＝b＝c＝时，取等号． 16．已知t>0，则y＝的最小值为________． －1　y＝＝t＋－3. ∵t>0，∴y≥2－3＝－1， 当且仅当t＝，即t＝1时，取等号． ∴y的最小值为－1. 17．已知x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3，则xy的最小值为________． 9　∵x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3， ∴xy＝x＋y＋3≥2＋3(当且仅当x＝y时取等号)， 即()2－2－3≥0. ∴(＋1)(－3)≥0.