(练习)14 课时分层训练(十) 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

课时分层训练(十)　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 知识点1　一元二次方程根的判别式及应用 1．(多选题)下列一元二次方程的解集为含有两个元素的集合的是(　　) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0 CD　A项，∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，此选项不合题意； B项，∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根，此选项符合题意； C项，∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项符合题意； D项，∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项符合题意．故选CD. 2．若关于x的一元二次方程x2＋8x＋q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(　　) A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q＞4 A　∵Δ＝82－4q＞0，∴q＜16. 3．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. D　根据题意得m－2≠0，且Δ＝(2m＋1)2－4(m－2)(m－2)＞0，解得m＞且m≠2. 设方程的两根为a，b，则a＋b＝－＞0，ab＝＝1＞0，而2m＋1>0，∴m－2＜0，即m＜2， ∴m的取值范围为. 4．若关于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0无解，则a的取值范围是________. (－∞，－1)　当时，一元二次方程无解，解得a＜－1，且a≠0，所以a的取值范围是(－∞，－1)． 知识点2　一元二次方程根与系数的关系 5．一元二次方程x2－3x－1＝0与x2－x＋3＝0的所有实数根之和为(　　) A．2 B．－4 C．4 D．3 D　方程x2－3x－1＝0中Δ＝(－3)2－4×(－1)＝13＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，根据两根之和公式求出两根之和为3. 方程x2－x＋3＝0中Δ＝(－1)2－4×3＝－11＜0，∴该方程无解．∴方程x2－3x－1＝0与x2－x＋3＝0一共只有两个实数根，即所有实数根之和为3，故选D. 6．已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是(　　) A．－3 B．－2 C．3 D．6 A　设方程的另一个根为t，根据题意得2＋t＝－1，解得t＝－3，即方程的另一个根是－3，故选A. 7．已知x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，则a2＋2ab＋b2＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 B　∵x＝1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1，∴a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝(－1)2＝1，故选B. 8．若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝________. 4　由ax2＝b(ab＞0)得x＝±，∴方程的两个根互为相反数． ∵一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1， ∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2， ∴＝2，即＝4. 知识点3　根与系数关系的应用 9．若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(　　) A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1 D　∵x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根， ∴x1＋x2＝2m，x1·x2＝m2－m－1. ∵x1＋x2＝1－x1x2， ∴2m＝1－(m2－m－1)，即m2＋m－2＝(m＋2)(m－1)＝0，解得m1＝－2，m2＝1. ∵方程x2－2mx＋m2－m－1＝0有实数根， ∴Δ＝(－2m)2－4(m2－m－1)＝4m＋4≥0，解得m≥－1. ∴m＝1，故选D. 10．若x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两个根，则＋的值为(　　) A．2 B．－2 C． D． A　由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝，∴＋＝＝＝2. 11．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA，OB的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m等于(　　) A．－3 B．5 C．5或－3 D．－5或3 A　由菱形可知OA2＋OB2＝52，　① 由根与系数的关系知OA＋OB＝1－2m，　② OA·OB＝m2＋3，　③ 由①②③可得m＝－3. 12．若实数a≠b，且a，b满足a2－8a＋5＝0，b2－8b＋5＝0，则＋的值为(　　) A．－20 B．2 C．2或－20 D．2或20 A　由题意知a，b分别为方程x2－8x＋5＝0的两根，所以a＋b＝8，ab＝5， ＋＝ ＝＝－20. 13．若方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根