(练习)11 易错强化练(二) 常用逻辑用语-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

易错强化练(二)　常用逻辑用语 练易错 易错点1| 全称量词命题和存在量词命题混淆不清 [防范要诀] 全称量词命题和存在量词命题是含有量词的命题，首先要分清是全称量词，还是存在量词．含有全称量词的命题为全称量词命题，含有存在量词的命题为存在量词命题．通常情况下，存在量词不可省略，全称量词可以省略． [对点集训] 1．存在量词命题：“存在实数x，使x2＋1<0”可写成(　　) A．若x∈R，则x2＋1>0 B．∀x∈R，x2＋1<0 C．∃x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确 C　存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C. 易错点2| 全称量词命题与存在量词命题真假判断失误 [防范要诀] (1)要判断全称量词命题为真，需要对给定元素逐一验证为真，多次推理证明，而判断一个全称量词命题为假，则只需要举出一个反例即可． (2)要判断存在量词命题为真，只要找出一个满足题意的即可． [对点集训] 2．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等 C．∀x∈R，＝x D．正比例函数在定义域上是单调函数 D　A中的命题是全称量词命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称量词命题，但是假命题；C中的命题是全称量词命题，但＝|x|，故是假命题；D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D. 3．以下四个命题，既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 B　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，所以D是假命题． 4．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)∀x∈R，都有x2－x＋1>； (2)∀x，y∈N，都有(x－y)∈N； (3)∃x，y∈Z，使x＋y＝3. 解：(1)当x∈R时，x2－x＋1＝＋≥>，所以该命题是真命题． (2)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∉N，所以该命题是假命题． (3)当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，即∃x，y∈Z，使x＋y＝3，所以该命题是真命题． 易错点3| 全称量词命题与存在量词命题的否定出错 [防范要诀] 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．否定时，量词要否定，结论也要否定． 如∀x∈M，p(x)，否定为∃x∈M，﹁p(x). ∃x∈M，q(x)，否定为∀x∈M，﹁q(x)． [对点集训] 5．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是________________. 存在x∈R，使得x2<0　因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，﹁p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2<0”． 6．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是________________. ∀x∈∁RQ，x3∉Q　存在量词命题的否定是全称量词命题． 7．命题“∀x∈R，x2－x＋3>0”的否定是________________. ∃x∈R，x2－x＋3≤0　全称量词命题的否定是存在量词命题． 8．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是存在能被2整除的整数不是偶数. 9．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：∃x∈R，x2＋1<0； (2)p：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解：(1)﹁p：∀x∈R，x2＋1≥0，真命题． (2)﹁p：∀x∈R，x3＋1≠0. ∵x＝－1时，x3＋1＝0， ∴﹁p为假命题． 易错点4| 充分条件、必要条件判断失误 [防范要诀] 根据充分条件、必要条件的定义判断． p⇒q，p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⇒q且q⇒p，p是q的充分不必要条件； p⇒q且q⇒p，p是q的必要不充分条件； p⇔q，p是q的充要条件． [对点集训] 10．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中，选出适当的一个填空： 若集合A＝{－1，p，2}，B＝{2，3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________. 充要条件　当p＝3时，A＝{－1，2，3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件． 练疑难 11．(多选题)下列命题中是真命题的是(　　) A．存在一个实数x，使－2x2＋x－4＝0 B．所有的素数都是奇数 C．在同一平面中，同位角相等的不重合的两条直线都平行 D．至少存在一个正整数，能被5和7整除 CD　A中，方程－2x2＋x－4＝