(练习)40 课时分层训练30 指数函数图象和性质的应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(三十)　指数函数图象和性质的应用 1．函数f(x)＝x2－1的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) A　解析：因为f(x)＝x2－1，0<<1， 所以f(x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]． 2．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　A　) A. B. C.∪(1，＋∞) D. 3．把函数y＝f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得到y＝2x的图象，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2x＋2＋2 B．f(x)＝2x＋2－2 C．f(x)＝2x－2＋2 D．f(x)＝2x－2－2 C　解析：y＝2x向上、向右分别平移2个单位长度得f(x)的图象，所以f(x)＝2x－2＋2. 4．已知函数y＝ax (a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为(　　) A. B．2 C．3 D．4 B　解析：y＝ax(a>1)在[1,2]上是增函数，最大值为a2，最小值为a1，所以a2－a1＝2，解得a＝2或a＝－1(舍)． 5．函数y＝2x－x2的值域为__________． 　解析：由题意知函数的定义域为R. 因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， 又y＝x为减函数， 所以2x－x2≥1＝. 故函数y＝2x－x2的值域为. 6．已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(0<a<1)，当x≥0时，函数f(x)的值域为________． (－1,2]　解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax， 则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 因为x≥0，所以0<t≤1. 因为g(0)＝－1，g(1)＝2， 所以当0<a<1时，－1<y≤2. 所以函数f(x)的值域为(－1,2]． 7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)满足f(－2)＞f(－3)，则函数g(x)＝a1－x2的单调递增区间是[0，＋∞)． 8．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)． (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的取值范围； (2)若f(x)的图象如图②所示，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求m的取值范围． 第8题图 解：(1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1)． 又f(0)＝1＋b<0，所以b的取值范围为(－∞，－1)． (2)y＝|f(x)|的图象如图所示． 由图象可知使|f(x)|＝m有且仅有一个实数解的m的范围为{m|m＝0或m≥3}． 1．设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) D　解析：当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数， 则f(x)≥f(0)＝1. 作出f(x)的大致图象，如图所示． 结合图象可知，要使f(x＋1)<f(2x)，则需或解得x<0. 2．函数y＝的值域是(　　) A．(－2，－1) B．(－2，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－2，－1] D　解析：当x≤1时，y＝3x－1－2单调递增，值域为(－2，－1]； 当x>1时，y＝31－x－2＝x－1－2单调递减，值域为(－2，－1)． 所以函数值域为(－2，－1]． 3．若函数f(x)＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是[4,8)． 4．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________． (－∞，1]　解析：(方法一)由指数函数的性质可知y＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]． (方法二)f(x)＝|x－1|＝可画出f(x)的图象，得其单调递增区间为(－∞，1]． 5．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值． 解：令t＝ax(a>0，且a≠1)， 则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)． ①当0<a<1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈， 此时f(t)在上单调递增． 所以f(t)max＝f ＝2－2＝14. 所以2＝16， 所以a＝－或a＝. 又因为a>0，所以a＝. ②当a>1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈， 此时f(t)在上单调递增． 所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14. 解得a＝3或a＝－5(舍去负值)． 综上，a＝或3. 6．已知函数f(x)＝＋是奇函数． (1)求a的值； (2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明； (3)求f(x)的值域． 解：(1)因为f(x)为奇函数， 所以f