(练习)38 课时分层训练28 指数函数的概念-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(二十八)　指数函数的概念 1．若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　) A．a＝1或－1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a>0，且a≠1 C　解析：因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数， 所以解得a＝－1. 2．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．2 B． C．0 D． B　解析：f(－1)＝2－1＝， f[f(－1)]＝f ＝3＝. 3．函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于(　　) A．8 B． C．4 D．2 D　解析：因为函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数， 所以2a－3＝1，解得a＝2. 所以f(x)＝2x.所以f(1)＝2. 4．放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰减为原来的一半．铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录时，容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等．已知物质A的半衰期为7.5小时，则物质B的半衰期为(　　) A．10 小时 B．8 小时 C．12 小时 D．15 小时 B　解析：由题意得＝16.又不妨设mB＝1，则mA＝2. 设物质B的半衰期为t.由题意可得2×16＝，解得t＝8.故选B. 5．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减．按此规律，设2020年的湖水量为m，从2020年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(　　) A．y＝0.9 B．y＝(1－0.1)m C．y＝0.9m D．y＝(1－0.150x)m C　解析：设每年的衰减率为q%， 则(1－q%)50＝0.9.所以1－q%＝0.9. 所以y＝m·(1－q%)x＝0.9m. 6．已知函数f(x＋2)＝2x＋x－2，则f(x)＝(　　) A．2x－2＋x－4 B．2x－2＋x－2 C．2x＋2＋x D．2x＋2＋x－2 A　解析：设t＝x＋2，则x＝t－2.所以f(t)＝2t－2＋t－2－2＝2t－2＋t－4.所以f(x)＝2x－2＋x－4.故选A. 7．地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级M与所释放的能量E的关系如下：E＝104.8＋1.5M(焦耳)．那么，7.5级地震释放的能量是5.5级地震释放的能量的103倍． 8．复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息． (1)写出x年后，需要还款总数y(单位：万元)和x(单位：年)之间的函数关系式； (2)计算5年后的还款总额(精确到元)； (3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，求每次还款的金额x(精确到元)． (参考数据：1.073≈1.225 0,1.074≈1.310 8，1.075≈1.402 552，1.076≈1.500 730) 解：(1)y＝10·(1＋7%)x，定义域为{x|x∈N*}． (2)5年后的还款总额为y＝10×(1＋7%)5＝10×1.075≈14.025 5.故5年后还款总额为140 255元． (3)由已知得x(1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)≈14.025 5，解得x≈2.438 9.]故每次还款的金额为24 389元． 1．若函数f(x)＝(a－3)·ax是指数函数，则f(2)的值为(　　) A．4 B．8 C．2 D．16 D　解析：因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝4. 所以f(x)＝4x，f(2)＝42＝16. 2．某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为b,2012年该市生活垃圾量为a吨，由此可以预测2022年垃圾量为(　C　) A．a(1＋10b)吨 B．a(1＋9b)吨 C．a(1＋b)10吨 D．a(1＋b)9吨 3．设f(x)＝则f(17)＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 A　解析：因为f(x)＝ 所以f(17)＝f(9)＝f(1)＝21＝2.故选A. 4．(多选)如图，某湖泊的蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是(　　) 第4题图 A．蓝藻面积每个月的增长率为100% B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第6个月时，蓝藻面积就会超过60 m2 D．若蓝藻面积蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1＋t2＝t3 ACD　解析：由图可知，函数y＝at的图象经过(1,2)，即a1＝2，则a＝2，所以y＝2t； 所以2t＋1－2t＝2t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，A正确、B错误；当t＝6时，y＝26＝64>60，C正确； 若蓝藻面积蔓延到2 m