(练习)15 课时分层训练13 基本不等式的综合应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

课时分层训练(十三) 基本不等式的综合应用 1．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的总进价的一半来计算，每件进价为2元．为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为(　　) A．200件 B．5 000件 C．2 500件 D．1 000件 D　解析：设进货n次，则每次的进货量为，一年的运费和租金为y元． 根据题意得y＝100n＋××2＝100n＋≥2 000，当且仅当n＝10时，等号成立，此时每次进货量应为1 000件．故选D. 2．(多选)下列不等式不一定成立的是(　　) A．x＋≥2 B．≥ C．≥2 D．2－3x－≥2 ACD　解析：当x<0时，x＋<0<2，A不一定成立.＝≥，B成立.＝－，当x＝0时，＝<2，C不一定成立．取x＝1,2－3x－<2，D不一定成立． 3．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为(　　) A．50 B．25 C．50 D．100 A　解析：设矩形的长和宽分别为x，y，则x2＋y2＝100. 于是S＝xy≤＝50，当且仅当x＝y时，等号成立． 4．下列结论中，正确的结论是(B) A．若x＜－3，则函数y＝x＋的最大值为－3 B．若xy＞0,2x＋3y＝4xy，则2x＋y的最小值为2＋ C．若x>0，y>0，x2＋y2＋xy＝3，则xy的最大值为－1 D．若x＞2，y＞－2，x＋2y＝2，则＋的最小值为3＋2 5．设x＞0，y＞0，x＋y＝1，则＋≤a恒成立的a的最小值是(　　) A． B． C．2 D．2 B　解析：(＋)2＝1＋2≤1＋1＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立，所以a≥.故选B. 6．已知a>0，b>0，＋＝4，则a＋b的最小值为________． 1　解析：由＋＝4，得＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋ 2＝1，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 7．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则的最小值为________． 2＋4　解析：＝＝＋＋4≥2＋4，当且仅当x＝y时，等号成立． 8．设a，b，c均为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：因为a，b，c均是正数，所以，，均是正数． 所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b. 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 所以＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 1．若－4<x<1，则y＝(D) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　) A．9 B．16 C．25 D．36 C　解析：(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝25，当且仅当x＝y＝4时，等号成立． 3．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 C　解析：(x＋y)＝1＋a＋＋a ≥a＋1＋2＝a＋2＋1， 当且仅当a·＝时，等号成立． 所以()2＋2＋1≥9.所以≥2，则a≥4. 所以a的最小值为4. 4．(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．ab有最大值 B．＋有最小值 C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值 AC　解析：因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2，所以ab≤(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，所以ab有最大值，所以选项A正确；(＋)2＝a＋b＋2≤1＋2·＝2(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，所以＋有最大值，所以B错误；＋＝＝≥4，所以＋有最小值4，所以C正确；a2＋b2≥2ab,2ab≤，所以a2＋b2的最小值不是，所以D错误．故选AC. 5．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________． 4　解析：因为a，b∈R，ab>0，所以≥＝4ab＋≥2＝4，当且仅当即时取得等号．故的最小值为4. 6．设a＞b＞c，n∈N*，使不等式＋≥成立的n的最大值为________． 4　解析：因为a－b＞0，a－c＞0，要使原不等式成立， 只需＋≥n成立， 即＋≥n成立， 也就是2＋＋≥n成立． 又＋≥2，当且仅当b－c＝a－b， 即a＋c＝2b时，等号成立， 所以n≤4，所以n有最大值为4. 7．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， (1)xy的最小值为64； (2)x＋y的最小值为18. 8．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)．如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该