(教案)第5章 5.7 三角函数的应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

5.7　三角函数的应用 学习任务目标 1．了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相； 2．会用三角函数解决一些简单的实际问题； 3．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 1．如图，单摆从某一位置开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数解析式为s＝6sin，则单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. 2．某市一年12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Asin (x＝1,2,3，…，12)来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则该市8月份的平均气温为25.5_℃. 知识点一　描述简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)的物理量 物理量 定义 意义 振幅 A就是这个简谐运动的物理量 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 这个简谐运动的周期是T＝ 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 这个简谐运动的频率由公式f＝＝给出 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位和 初相 ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相 [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝－2sin的振幅是－2. (×) (2)函数y＝sin的初相是. (×) (3)函数y＝sin的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z. (√) 2．函数y＝2sin的周期、振幅依次是(B) A．4π，－2 B．4π，2 C．π，2 D．π，－2 知识点二　利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． 知识点三　三角函数模型的建立程序 三角函数模型的建立程序如图所示： [微训练] 1．一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为(C) A．0.2 m B．0.5 m C．1 m D．2 m 2．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为(B) A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A 3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝cm. 三角函数模型在物理中的应用 探究1：如图为电流强度I与时间t的函数关系的图象，根据图象探求下面的问题： (1)由图知电流强度I与时间t的函数关系式是哪种类型的函数？ (2)由图象可得A＝__________，ω＝________， φ＝________. 提示：(1)由图知电流强度I与时间t的函数关系为三角函数模型，其解析式为形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数式． (2)由图可得：A＝300，ω＝100π，φ＝. 答案：300　100π　 探究2：结合三角函数的周期性，思考下列物理方面的知识哪些可以用三角函数模型解决？ ①单摆；②简谐振动；③机械波；④电磁学；⑤力学． 提示：由于物理学中的单摆，简谐振动、机械波、电磁学等知识都具有周期性，因此可以利用三角函数模型来研究． 【例1】已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)． (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解：(1)由图知A＝300，设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝2＝. 所以ω＝＝150π.又当t＝时，I＝0， 即sin＝0，而|φ|<，所以φ＝. 故所求的解析式为I＝300sin. (2)依题意，周期T≤，即≤(ω>0)， 所以ω≥300π>942. 又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943. 如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(D) A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的