(教案)第5章 5.4 5.4.3 正切函数的性质与图象-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

5.4.3　正切函数的性质与图象 学习任务目标 1．会求正切型函数y＝tan(ωx＋φ)的周期； 2．掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性； 3．掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法. tan(x＋π)＝tan_x，tan(－x)＝－tan_x. 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　正切函数y＝tan x的图象和性质 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) 奇偶性 奇函数 单调性 在，k∈Z上单调递增 周期性 最小正周期为T＝π 对称 中心 (k∈Z) [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝tan x在其定义域上是增函数． (×) (2)函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)． (×) (3)正切函数y＝tan x无单调递减区间． (√) (4)正切函数y＝tan x在区间上单调递增． (×) 2．函数y＝tan的定义域是(D) 3．函数y＝4tan的最小正周期为. 4．函数y＝tan x的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞). 正切函数的定义域、值域 1．函数y＝tan的定义域为________. 　解析：(1)要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)， 所以函数的定义域为. 2．当x∈时，函数f(x)＝tan的值域为________. [－，0]　解析：因为x∈，所以2x∈，所以2x－∈. 所以0≤tan≤. 所以－≤tan≤0. 所以函数f(x)的值域为[－，0]． 3．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域． 解：因为－≤x≤， 所以－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1,1]， 所以y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. 所以，当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4， 当t＝1，即x＝时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4,4]． 正切函数的单调性 如图为正切函数y＝tan x的图象，观察图象，探究问题． 探究1：正切函数在定义域上是单调函数吗？ 提示：不是． 探究2：正切函数的单调区间是什么？ 提示：正切函数的单调区间为，k∈Z. 【例1】(1)求函数y＝tan的单调区间． (2)将tan 1，tan 2，tan 3从小到大排序为________. (1)解：y＝tan＝－tan. 由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－<x<2kπ＋π，k∈Z. 所以函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z. (2)tan 2<tan 3<tan 1　解析：tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 因为<2<π，所以－<2－π<0. 因为<3<π，所以－<3－π<0. 显然－<2－π<3－π<1<， 且y＝tan x在上单调递增， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1. 【类题通法】 正切型函数单调性的问题 (1)求y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间，把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． (2)运用正切函数的单调性比较大小的步骤： ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； ②运用单调性比较大小关系． 1．函数y＝2tan－5的单调递增区间是，k∈Z. 2．比较大小：tan>tan. 正切函数性质的综合应用 如图是正切函数的图象，根据图象回答下面问题． 探究1：直线y＝a与图象的两交点A1 ，A2之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π. 探究2：正切曲线与直线x＝＋kπ(k∈Z)存在怎样的关系？ 提示：由正切函数的定义域为，所以正切曲线与直线x＝＋kπ(k∈Z)无限接近但不会相交，即正切曲线是由相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的． 探究3：怎样作y＝tan x在x∈上的草图？ 提示：①描出三点，(0,0)，，两线x＝±；②用光滑曲线连接三点，并无限接近于线x＝±. 【例2】函数f(x)＝|tan 2x|是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为的奇函数　 D．周期为的偶函数 D　解析：f(x)＝tan 2x的周期为，加上绝对值符号后，周期未改变． 又f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．故选D. 【例3】设函数f(x)＝tan. (1)求函数f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集； (3)作出函数y＝f(x)在一个周期内的简图． 解：(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋2kπ(k∈Z)． 所以f(x)的定义域是