(教案)第5章 5.4 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 学习任务目标 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0)的周期； 3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性. 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；　 (2)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|. 答案：(1)因为x∈[－3,3]，所以f(x)的定义域关于原点对称，因为f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (2)f(x)定义域为R，关于原点对称， 因为f(－x)＝|2x＋1|－|1－2x|＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 知识点一　周期性 1．函数的周期性 (1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 2．正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(x＋2kπ)＝sin_x，cos(x＋2kπ)＝cos_x(k∈Z)知，y＝sin x与y＝cos x都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6为周期的周期函数． (×) (2)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R)． (×) (3)任何周期函数都有最小正周期． (×) 2．函数y＝sin的最小正周期为2，则ω的值为±π. 3．函数y＝cos π的最小正周期是4. 知识点二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)对于y＝sin x，x∈R，恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y＝cos x，x∈R，恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称． [微训练] 1．函数f(x)＝sin(B) A．是奇函数　 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数　 D．是非奇非偶函数 2．设函数f(x)＝cos，x∈R，则f(x)是(A) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 正弦函数、余弦函数的周期性 观察f(x)的部分图象，思考下列问题： 探究1：观察图形，函数图象每相隔多少个单位重复出现？ 提示：每相隔1个单位重复出现． 探究2：由诱导公式一：结合正(余)弦曲线，可以看出正(余)弦函数怎样的特征？图象变化趋势是怎样的？ 提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出现，图象发生“周而复始”的变化． 【例1】求下列三角函数的周期： (1)y＝cos 2x； (2)y＝3sin； (3)y＝|sin x|(x∈R)． 解：(1)(方法一)令z＝2x， 则f(x)＝cos 2x＝cos z＝cos(z＋2π)＝cos(2x＋2π)＝cos [2(x＋π)]， 即f(x＋π)＝f(x)，所以T＝π. (方法二)因为T＝＝π，所以函数y＝cos 2x的周期为π. (2)(方法一)令z＝＋， 则f(x)＝3sin z＝3sin(z＋2π)＝3sin＝3sin＝f(x＋4π)， 所以T＝4π. (方法二)由于T＝＝4π， 故函数y＝3sin的周期为4π. (3)y＝|sin x|＝ (k∈Z)． 其图象如图所示． 所以该函数的最小正周期为π. 1．下列函数是以π为周期的是(C) A．y＝sin x B．y＝sin x＋2 C．y＝cos 2x＋2　 D．y＝cos 3x－1 2．若函数y＝cos(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 D　解析：T＝≤2，即k≥4π.所以正整数k的最小值是13. 正弦函数、余弦函数的奇偶性 【例2】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x； (2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x. 解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． (2)函数的定义域为R，关于原点对称． 因为f(x)＝cos x－x3·sin x， 所以f(－x)＝cos(－