(教案)第5章 5.2 5.2.2 同角三角函数的基本关系-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学习任务目标 1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系； 2．理解同角三角函数的基本关系式； 3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 写出下列各角的三角函数值. sin α cos α tan α sin2α＋cos2α 30° 1 45° 1 1 1 60° 1 知识点一　同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 知识点二　同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式： sin2α＝1－cos2α； cos2α＝1－sin2α. (2)tan α＝的变形公式： sin α＝cos_αtan_α； cos α＝. [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意角α，β，均有sin2α＋cos2β＝1. (×) (2)存在角α，使得sin α＝cos α＝. (×) (3)存在角α，使得tan α＝1，sin α＝. (√) (4)对于任意角α，tan ＝都成立． (×) (5)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α. (√) 2．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α＝(A) A．－ B． C．± D．± 3．若tan α＝3，则＝(D) A．2 B．3 C．4 D．6 利用同角三角函数基本关系式化简 【例1】化简：(1)； (2)－(α为第二象限角)． 解：(1)原式＝ ＝ ＝＝＝1. (2)因为α是第二象限角，所以cos α<0， 则原式＝－ ＝－＝＋＝＝＝tan α. 已知α是第三象限角，化简－. 解：原式＝－ ＝－ ＝－. 因为α是第三象限角，所以cos α<0. 所以原式＝－＝－2tan α. 利用同角三角函数基本关系式证明 【例2】已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明：(方法一)因为tan2α＝2tan2β＋1， 所以tan2β＝.① 因为tan2β＝， 所以tan2β＝， 所以sin2β＝.② 由①②，得sin2β＝＝＝＝＝2sin2α－1. (方法二)因为tan2α＝2tan2β＋1， 所以tan2α＋1＝2(tan2β＋1)． 所以＝2·. 所以＝. 所以cos2β＝2cos2α.所以1－sin2β＝2(1－sin2α)．所以sin2β＝2sin2α－1. 求证：＝. 证明：左边＝ ＝ ＝＝＝右边． 所以原等式成立． 利用同角三角函数基本关系式求值 探究1：若已知某角的正切，如何求该角的正弦、余弦值？ 提示：可利用方程组求解． 探究2：若已知正弦值或余弦值，如何求解其他值？ 提示：可先由sin 2α＋cos 2α＝1求出余弦值或正弦值，再利用求正切值． 探究3：对形如或的式子如何求值？ 提示：将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而解决问题． 【例3】已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解：因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角．如果α是第二象限角，那么 sin α＝＝＝， tan α＝＝＝－. 如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－＝－，tan α＝. 【例4】已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________. －　解析：由α∈及tan α＝2，得sin α＝2cos α＜0. 又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，cos α＝－. 【例5】已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)； (2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α. 解：(1)原式＝＝. (2)原式＝ ＝＝＝. 【例6】已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求： (1)sin αcos α；(2)sin α－cos α. 解：(1)由sin α＋cos α＝， 平方得2sin αcos α＝－.所以sin αcos α＝－. (2)因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，所以sin α－cos α＝±. 又由(1)知sin αcos α<0，所以α∈. 所以sin α>0，cos α<0.所以sin α－cos α＝. 已知＝2，计算下列各式的值． (1)； (2)sin2α－2sin αcos α＋1. 解：由＝2，化简得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3. (1)原式＝＝＝. (2)原式＝＋1 ＝＋1＝＋1＝. 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：tan α＝. 2．同