(教案)第5章 5.2 5.2.1 三角函数的概念-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

5.2　三角函数的概念 5.2.1　三角函数的概念 第1课时　三角函数的概念 学习任务目标 1．理解任意角的三角函数的定义； 2．会求给定角的三角函数值； 3．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及应用. 1．初中学到的锐角的三角函数有：锐角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)叫做角A的锐角三角函数. 2．在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，直角C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为sin A＝；cos A＝；tan A＝. 知识点一　任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)． (1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； (2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即x＝cos α； (3)把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan_α，即＝tan α(x≠0)． ＝tan α也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数． 知识点二　三角函数的定义域 函数名 定义域 正弦函数 R 余弦函数 R 正切函数 [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin α，cos α，tan α的值与点P(x，y)在角α终边上的位置无关． (√) (2)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应． (×) (3)若角α终边上一点为P(2,3)，则sin α＝3. (×) (4)若角α的终边为第一象限的平分线，则sin α＝cos α. (√) (5)对于任意一个角α，都可以求出它的三个三角函数值． (×) 2．已知角α的终边与单位圆交于点，则sin α的值为(B) A．－ B．－ C． D． 已知角的度数求三角函数值 如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x，y)．射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP. 探究1：当α＝时，点P的坐标是什么？当α＝或α＝时，点P的坐标又是什么？ 提示：利用勾股定理可以发现，当α＝时，点P的坐标为；当α＝或α＝时，点P的坐标分别为(0,1)和. 探究2：sin ，cos ，tan 的值分别是多少？ 提示：根据与单位圆交点P的坐标可知sin ＝，cos ＝，tan ＝. 【例1】已知角α＝150°，求sin α，cos α，tan α. 解：如图，设点P是150°角的终边与单位圆的交点，故∠POM＝30°.所以PM＝，OM＝.所以点P的坐标为， 所以sin 150°＝，cos 150°＝－. 所以tan 150°＝＝－. 若α＝－，则sin α＝__________，cos α＝________，tan α＝________. －　　－　解析：因为角－的终边与单位圆交于点P， 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 利用三角函数的定义求三角函数值 　　　　　　　　　　　　　　　 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于点M，设P(x，y)，|OP|＝r，据此回答下列问题： 探究1：角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝. 探究2：将角α推广到任意角，上述结论是否成立？ 提示：对任意角α上述结论都成立． 【例2】已知角θ的终边经过点(－4,3)，则cos θ等于(D) A． B． C．－ D．－ 【例3】若第四象限角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，则m＝________，sin α＝________. －　－　解析：因为|OM|＝1，2＋m2＝1，解得m＝±. 又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－. 由正弦函数的定义可知 sin α＝＝＝＝－. 【例4】已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 1或－1　解析：r＝＝5|a|， ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. 所以2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝＝－，cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 【例5】已知角θ的终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 解：由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cos θ＝＝. 又因为cos θ＝x，所以＝x. 因为x≠0，所以x＝±1. 当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3； 当x＝－1时，P(－1,3)