(教案)第5章 5.1 5.1.2 弧度制-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

5.1.2　弧度制 学习任务目标 1．了解弧度制的概念； 2．能进行弧度和角度的互化； 3．会计算弧长和扇形的面积. 扇形的弧长与面积公式： 弧长公式：l＝； 面积公式：S＝. 知识点一　弧度制的定义 角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的作为一个单位 弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0 计算公式 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝. [微训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度＝1°. (×) (2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应． (√) (3)1弧度是长度等于半径的弧． (×) (4)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (√) 知识点二　角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算 180°＝π rad； 1°＝ rad≈0.017 45 rad； 1 rad＝°≈57.30°. (2)一些特殊角与弧度制的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π (3)角的集合与实数集R之间的关系 [微训练] 1．对应的角度为(　　) A．75° B．125° C．135° D．155° C　解析：因为1 rad＝°，所以＝π×°＝135°.故选C. 2．－105°化为弧度为____________，化为角度为________. －π　660°　解析：－105°＝－105×＝－π，π＝×180°＝660°. 知识点三　弧度制下扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝αR 扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2 [微训练] 1．已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是(C) A． B． C． D． 2．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则该扇形的周长为__________________cm. 40＋6π　解析：因为1°＝ rad，所以54°＝×54＝，则扇形的弧长l＝αr＝×20＝6π(cm)．故扇形的周长为(40＋6π)cm. 弧度与角度的互化 1．－300°化为弧度是(B) A．－ B．－ C．－ D．－ 2．化为角度是(C) A．270° B．280° C．288° D．318° 3．(1)把112°30′化成弧度； (2)把－化成度． 解：(1)112°30′＝°＝×＝. (2)－＝－°＝－75°. 用弧度表示角或范围 【例1】图中阴影部分表示的角的集合为____________(包括边界)． 　解析：第一象限阴影部分可表示为，第三象限阴影部分可表示为，所以整个阴影部分可表示为 ∪＝. 【例2】已知α＝－800°. (1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈. 解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°， 280°＝，所以α＝＋(－3)×2π. 所以α与角终边相同，是第四象限角． (2)因为与α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同， 所以γ＝2kπ＋，k∈Z. 又γ∈， 所以－<2kπ＋<，k∈Z， 解得k＝－1，所以γ＝－2π＋＝－. 集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(C) 弧长公式与扇形面积公式的应用 探究1：半径为r的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？所得的扇形面积是多少？ 提示：因为半径为r的圆的周长为2πr，面积是πr2，故1°的圆心角所对的弧长是l＝＝， 扇形的面积是S＝. 探究2：若扇形的圆心角为α(0<α<2π)，如何由角度制下的扇形的弧长和面积公式得出弧度制下的公式？ 提示：由α＝，所以n＝， 所以l＝×＝αr， S＝×＝α·r2＝lr. 【例3】已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是多少？ 解：设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α. 由题意得解得或即扇形的圆心角的弧度数是1或4. 【例4】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR