(教案)第4章 4.5 4.5.3 函数模型的应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.5.3　函数模型的应用 学习任务目标 1．会利用已知函数模型解决实际问题； 2．能建立函数模型解决实际问题； 3．了解拟合函数模型并解决实际问题； 4．通过本节内容的学习，认识函数模型的作用，提高数学建模、数据分析的能力. 知识点　常用函数模型 常用函数模型 指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) [微训练] 1．下面的选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是(A) A．y＝10×1.05x B．y＝20＋x1.5 C．y＝30＋lg(x－1) D．y＝50 2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alog3(x＋2)，观测发现2015年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2021年冬有越冬白鹤(C) A．4 000只 B．5 000只 C．6 000只 D．7 000只 3．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的e6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒. 已知函数模型解决实际问题 若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为y＝2t－1，且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为(lg 2≈0.301 0)(　　) A．25 B．26 C．27 D．28 C　解析：令y＝2t－1＝108，则t－1＝log2108＝8log210，即t＝8log210＋1＝8＋1≈27.6.故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27.故选C. 建立函数模型解决实际问题 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请思考以下问题： 探究1：设第x天所得的回报为y元，那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么？ 提示：方案一可以用y＝40(x∈N)进行描述；方案二可以用y＝10x(x∈N)进行描述； 方案三可以用y＝0.4×2x－1(x∈N)进行描述． 探究2：上述三个函数分别是什么类型的函数？其单调性如何？ 提示：方案一的函数是常数函数，方案二是一次函数模型，是单调递增的，增长量是固定不变的；方案三是指数型函数模型，是单调递增的，且增长量是成倍增加的． 【例1】某乡镇现在人均一年占有粮食360千克．如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为(　　) A．y＝360×x－1 B．y＝360×1.04x C．y＝ D．y＝360×x D　解析：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M,1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为，2年后，人均占有粮食产量为，…，x年后，人均占有粮食产量为，即所求解析式为y＝360×x. 【例2】某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4 min后，测得车库内的一氧化碳浓度为64 μL/L，继续排气4 min，又测得一氧化碳浓度为32 μL/L.经检测知该地下车库一氧化碳浓度y(μL/L)与排气时间t(min)存在函数关系为y＝cmt(c，m为常数)． (1)求c，m的值； (2)若地下车库中一氧化碳浓度不高于0.5 μL/L为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳浓度才能达到正常状态？ 解：(1)由题意，可得方程组 解得 (2)由(1)知y＝128×， 由题意，可得128×≤0.5， 即≤8，即≥8，解得t≥32. 所以至少排气32 min，这个地下车库中的一氧化碳浓度才能达到正常状态． 2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾．到2020年春季，蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则蝗虫数量达到最初的16 000倍时，经过的天数为(　　) (参考数据；ln 1.050≈0.048 8，ln 1.5≈0.405 5，ln 1 600≈7.377 8，ln 16 000≈9.680 3) A．198 B．199 C．197 D．200 B　解析：设经过x天蝗虫数量能达到最初的16