(教案)第4章 4.5 4.5.2 用二分法求方程的近似解-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.5.2　用二分法求方程的近似解 学习任务目标 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件； 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解； 3．会用二分法思想解决其他的实际问题. 1．设函数y＝x2与y＝x－2的图象交点坐标为(x0，y0)，则x0所在区间是__________. (1,2)(答案不唯一)　解析：令f(x)＝x2－x－2，则f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0， 所以f(x)的零点在区间(1,2)内， 即函数y＝x2与y＝x－2的图象交点的横坐标x0∈(1,2)． 2．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表： x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 x －0.6 －0.4 －0.2 0 … y＝2x 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 … y＝x2 0.36 0.16 0.04 0 … 那么方程2x＝x2有一个根位于区间___________________． (－0.8，－0.6)　解析：设f(x)＝2x－x2， 则f(－1.2)＝0.435 3－1.44<0， f(－0.8)＝0.574 3－0.64<0， f(－0.6)＝0.659 8－0.36>0， 所以函数f(x)在区间(－0.8，－0.6)内必有一个零点．所以方程2x＝x2有一个根位于区间(－0.8，－0.6)． 知识点一　二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [微训练] 1．如图，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是(A) 2．下列函数中，不能用二分法求零点近似值的是②④. ①f(x)＝3x；②f(x)＝x2＋1；③f(x)＝ln x；④f(x)＝|x|. 知识点二　用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)的零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)精确度ε就是近似值． (×) (2)若初始区间为[a，b]，则计算f ，如果f(a)f ＜0，则零点在区间内． (√) 2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点时，f(1)f(2)＜0，用二分法逐次计算．若x0是(1,2)的中点，则f(x0)＝0.625. 二分法的概念及适用条件 观察函数y＝f(x)(x∈[a，b])的图象，并思考以下问题： 探究1：函数y＝f(x)在区间[a，b]上有几个零点？能用零点存在性定理判断的有几个？ 提示：函数y＝f(x)在区间[a，b]上有4个零点，分别为x1，x2，x3，x4；其中能用零点存在性定理判断的有3个，分别为x1，x3，x4. 探究2：图中零点x2有何特点？它能用二分法求解吗？ 提示：零点x2对应的点是函数y＝f(x)与x轴的切点，它不能用二分法求解． 1．下面关于二分法的叙述中，正确的是(　　) A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任意一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 B　解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数的零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D错误．故选B. 2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是(A) A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值 C．函数f(