(教案)第4章 4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 学习任务目标 1．理解函数的零点的概念及函数零点与方程根的关系； 2．会求函数的零点； 3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数. 1．一元二次方程x2－5x－6＝0的根为____________． 答案：x2－5x－6＝0可化为(x－6)(x＋1)＝0，解得x＝6或x＝－1，所以一元二次方程x2－5x－6＝0的根为6，－1. 2．若直线y＝ax＋b(a≠0)经过点(2,0)，则函数y＝bx2－ax的零点是______________． 答案：因为函数y＝ax＋b经过点(2,0)，所以2a＋b＝0，所以b＝－2a，所以y＝bx2－ax＝－2ax2－ax，令－2ax2－ax＝0，则x1＝0，x2＝－， 所以函数y＝bx2－ax的零点是0和－. 3．若x1，x2是二次函数y＝x2－5x＋6的两个零点，则＋的值为____________________． 答案：由题意，令x2－5x＋6＝0，解得x＝2或3， 不妨设x1＝2，x2＝3，代入可得＋＝＋＝. 知识点一　函数的零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 知识点二　方程、函数、函数图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． [微训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点是一个点． (×) (2)所有的函数都有零点． (×) (3)若方程f(x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)． (×) (4)函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的实数解． (√) 2．函数f(x)＝log2x的零点是(　　) A．1 B．(1,0) C．0 D．(0,1) A　解析：令f(x)＝0，即log2x＝0，得x＝1. 知识点三　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． [微训练] 以下函数在区间(0,2)上必有零点的是(　　) A．y＝x－3 B．y＝2x C．y＝x3 D．y＝lg x D　解析：画出A，B，C，D四个选项中的函数的图象可知，只有D选项中y＝lg x在区间(0,2)上有零点. 求函数的零点 求下列函数的零点： (1)f(x)＝x3＋8； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解：(1)令x3＋8＝0，得x＝－2.所以函数f(x)＝x3＋8的零点为－2. (2)函数f(x)＝的定义域为(0,3)∪(3，＋∞)．令＝0，得x＋2＝0或ln x＝0， 所以x＝－2(舍去)或x＝1. 所以函数f(x)＝的零点为1. (3)当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lg x＝0，得x＝1，满足要求．所以函数f(x)的零点是－2,1. 判断函数零点所在区间 【例1】(1)已知函数f(x)＝x－1－log2x.若x0是方程f(x)＝0的根，则x0∈(　　) A． B． C． D． (2)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．和(3,4) D．(e，＋∞) (3)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (1)B　解析：因为f ＝－1－log2＝>0，f(1)＝－1－log21＝－<0，所以x0∈. (2)B　解析：因为f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－>0，所以f(2)f(3)＜0， 所以f(x)在(2,3)内有零点． (3)A　解析：因为a<b<c， 所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0， f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0， 即函数的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． 【类题通法】 函数零点所在区间的确定 确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．具体分为如下三个步骤： (1)代入：将区间端点值代入函数解析式，求出函数值； (2)判号：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； (3)定论：若符号为负且图象连续，