(教案)第4章 4.4 4.4.3 不同函数增长的差异-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

4.4.3　不同函数增长的差异 学习任务目标 1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义； 2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异； 3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题. 知识点　三种常见函数模型的增长差异 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于平缓 增长速度保持不变 增长速度 y＝ax(a>1)的增长快于y＝kx(k>0)的增长，y＝kx(k>0)的增长快于y＝logax(a>1)的增长 增长结果 总会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax [微训练] 1．下列函数中，随x的增大而增大且增长速度最快的是(A) A．y＝ex B．y＝ln x　 C．y＝x2 D．y＝e－x 2．若x∈(1,2)，则下列结论正确的是(　　) A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x C．x>2x>lg x D．x>lg x>2x A　解析：因为x∈(1,2)，所以2x>2，x∈(1，)， lg x∈(0，lg 2)． 所以2x>x>lg x. 几类函数的增长差异 　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2 021x B．y＝x2 021 C．y＝log2 021x D．y＝2 021x A　解析：指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越来越快．故选A. 2．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y2 2 10 20 30 40 50 60 y3 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数函数变化的变量是y1. 几类函数增长速度的比较 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. 探究1：请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数． 提示：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. 探究2：结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大小． 提示：因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，所以1＜x1＜2,9＜x2＜10， 所以x1＜6＜x2,2 021＞x2. 从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时， f(x)＜g(x)，所以f(6)＜g(6)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x)， 所以f(2 021)＞g(2 021)． 又g(2 021)＞g(6)， 所以f(2 021)＞g(2 021)＞g(6)＞f(6)． 【例1】(1)以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xa>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．一定存在x0，使x>x0时，总有ax>xa>logax (2)下面对函数f(x)＝x，g(x)＝x与h(x)＝－在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　) A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度比较平稳 B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度比较平稳 D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 (1)D　解析：对于A，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如y＝x和y＝2x＋1在x∈(1，＋∞)时，所以A错误； 对于B，当a＝时，由幂函数和对数函数的性质知，对任意的x>0，xa>logax不成立，所以B错误； 对于C，当a＝时，由指数函数和对数函数的性质知，对任意的x>0，ax>logax不成立，所以C错误； 对于D，当a＝时，由幂函数和指数函数、对数函数的性质知，不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xa>logax，所以D正确． (2)C　解析：观察函数f(x)＝x，g(x)＝x，h(x)＝－在区间(0，＋∞)上的图象如下图所示： 函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；函数f(x)在区间(1，＋∞)上递减较慢，且越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上递减较慢，且递减速